Por que o rastro é quebrado e o gráfico de ⟨r²⟩ se aproxima de uma reta?

Um só caminho é imprevisível: cada passo é ao acaso. A grandeza ⟨r²⟩ é uma estatística. A tendência linear segue da independência dos passos e da lei dos grandes números: o comportamento médio é previsível, embora a trajetória individual não o seja.

É assim que o pólen se move na água?

É um modelo simplificado do movimento browniano. A partícula é empurrada pelas moléculas do líquido. O crescimento linear de ⟨r²⟩ com o tempo é a estatística com a qual Einstein, em 1905, ligou a difusão à atomística.

O que é a «média atual» ⟨r²⟩?

A média de r² até o passo N para o único caminhante que se observa. A N pequeno o gráfico é ruidoso; a N grande ele se aproxima de uma reta do tipo N L². A previsibilidade cresce com o volume de dados.

O que o modelo não descreve?

Comprimento de passo variável, tempos de espera, uma força externa (caminhada com viés) e a difusão anômala, em que ⟨r²⟩ ∝ N^α e α ≠ 1. Aqui o passo é fixo e independente.

Caminhada aleatória

Passos na reta ou no plano: trajetória e média acumulada ⟨r²⟩ como análogo da difusão.

Sobre o modelo

Caminhada aleatória: cada passo é independente (na reta, para a esquerda ou para a direita; no plano, um ângulo ao acaso). O comprimento do passo é fixo. O deslocamento quadrático médio ⟨r²⟩ cresce de forma linear com o número de passos N: numa caminhada sem viés ⟨r²⟩ ∝ N — a marca da difusão ordinária (de Fick). Na tela há uma trajetória e a média atual de r²; a N grande a média se aproxima de uma reta sobre o ruído de um só caminho. Não há força externa, o comprimento do passo é constante e não há memória. É o esquema discreto do movimento browniano, não uma trajetória de difusão suave.

Para quem: Probabilidade e física molecular: caminhada aleatória, difusão, ⟨r²⟩ ∝ t.

Conceitos-chave

caminhada aleatória
deslocamento quadrático médio
difusão
movimento browniano
processo de Markov
lei dos grandes números

Como funciona

Cada passo é independente: na reta, um sorteio de sinal; no plano, um ângulo uniforme. A média acumulada ⟨r²⟩, a N grande, cresce de forma linear com o número de passos — análogo discreto da lei de difusão. Na tela, o rastro do caminhante e o gráfico de ⟨r²⟩.

Perguntas frequentes

Por que o rastro é quebrado e o gráfico de ⟨r²⟩ se aproxima de uma reta?: Um só caminho é imprevisível: cada passo é ao acaso. A grandeza ⟨r²⟩ é uma estatística. A tendência linear segue da independência dos passos e da lei dos grandes números: o comportamento médio é previsível, embora a trajetória individual não o seja.
É assim que o pólen se move na água?: É um modelo simplificado do movimento browniano. A partícula é empurrada pelas moléculas do líquido. O crescimento linear de ⟨r²⟩ com o tempo é a estatística com a qual Einstein, em 1905, ligou a difusão à atomística.
O que é a «média atual» ⟨r²⟩?: A média de r² até o passo N para o único caminhante que se observa. A N pequeno o gráfico é ruidoso; a N grande ele se aproxima de uma reta do tipo N L². A previsibilidade cresce com o volume de dados.
O que o modelo não descreve?: Comprimento de passo variável, tempos de espera, uma força externa (caminhada com viés) e a difusão anômala, em que ⟨r²⟩ ∝ N^α e α ≠ 1. Aqui o passo é fixo e independente.

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