¿Por qué el rastro es quebrado y la gráfica de ⟨r²⟩ se acerca a una recta?

Un solo camino es impredecible: cada paso es al azar. La magnitud ⟨r²⟩ es una estadística. La tendencia lineal sigue de la independencia de los pasos y de la ley de los grandes números: el comportamiento medio es predecible, aunque la trayectoria individual no lo sea.

¿Así se mueve el polen en el agua?

Es un modelo simplificado del movimiento browniano. A la partícula la empujan las moléculas del líquido. El crecimiento lineal de ⟨r²⟩ con el tiempo es la estadística con la que Einstein, en 1905, ligó la difusión a la atomística.

¿Qué es el «promedio actual» ⟨r²⟩?

El promedio de r² hasta el paso N para el único caminante que se observa. A N pequeño la gráfica es ruidosa; a N grande se acerca a una recta del tipo N L². La predictibilidad crece con el volumen de datos.

¿Qué no describe el modelo?

Longitud de paso variable, tiempos de espera, una fuerza externa (caminata con sesgo) y la difusión anómala, donde ⟨r²⟩ ∝ N^α y α ≠ 1. Aquí el paso es fijo e independiente.

Caminata aleatoria

Pasos en la recta o en el plano: trayectoria y promedio acumulado ⟨r²⟩ como análogo de la difusión.

Sobre el modelo

Caminata aleatoria: cada paso es independiente (en la recta, a izquierda o a derecha; en el plano, un ángulo al azar). La longitud del paso es fija. El desplazamiento cuadrático medio ⟨r²⟩ crece de forma lineal con el número de pasos N: en una caminata sin sesgo ⟨r²⟩ ∝ N — la marca de la difusión ordinaria (de Fick). En pantalla hay una trayectoria y el promedio actual de r²; a N grande el promedio se acerca a una recta sobre el ruido de un solo camino. No hay fuerza externa, la longitud del paso es constante y no hay memoria. Es el esquema discreto del movimiento browniano, no una trayectoria de difusión suave.

Para quién: Probabilidad y física molecular: caminata aleatoria, difusión, ⟨r²⟩ ∝ t.

Conceptos clave

caminata aleatoria
desplazamiento cuadrático medio
difusión
movimiento browniano
proceso de Markov
ley de los grandes números

Cómo funciona

Cada paso es independiente: en la recta, un sorteo de signo; en el plano, un ángulo uniforme. El promedio acumulado ⟨r²⟩, a N grande, crece de forma lineal con el número de pasos — análogo discreto de la ley de difusión. En pantalla, el rastro del caminante y la gráfica de ⟨r²⟩.

Preguntas frecuentes

¿Por qué el rastro es quebrado y la gráfica de ⟨r²⟩ se acerca a una recta?: Un solo camino es impredecible: cada paso es al azar. La magnitud ⟨r²⟩ es una estadística. La tendencia lineal sigue de la independencia de los pasos y de la ley de los grandes números: el comportamiento medio es predecible, aunque la trayectoria individual no lo sea.
¿Así se mueve el polen en el agua?: Es un modelo simplificado del movimiento browniano. A la partícula la empujan las moléculas del líquido. El crecimiento lineal de ⟨r²⟩ con el tiempo es la estadística con la que Einstein, en 1905, ligó la difusión a la atomística.
¿Qué es el «promedio actual» ⟨r²⟩?: El promedio de r² hasta el paso N para el único caminante que se observa. A N pequeño la gráfica es ruidosa; a N grande se acerca a una recta del tipo N L². La predictibilidad crece con el volumen de datos.
¿Qué no describe el modelo?: Longitud de paso variable, tiempos de espera, una fuerza externa (caminata con sesgo) y la difusión anómala, donde ⟨r²⟩ ∝ N^α y α ≠ 1. Aquí el paso es fijo e independiente.

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