¿Por qué el planeta va más rápido en el perihelio que en el afelio?

Segunda ley de Kepler: en el mismo tiempo se barre la misma área. Más cerca del Sol el radio vector es más corto, así que en el mismo intervalo el cuerpo recorre un arco mayor: la velocidad es mayor. Es lo mismo que la conservación del momento angular en un campo central.

¿Por qué la tercera ley relaciona justo T² y a³?

Para una órbita circular en un campo ∝ 1/r², al igualar la gravedad y la fuerza centrípeta queda ω²r³ = GM; con ω = 2π/T eso da T² ∝ r³. En una elipse, en el problema de dos cuerpos, el papel de la distancia lo juega el semieje mayor a.

¿Valen las leyes de Kepler para los satélites de la Tierra?

Sí, como buena aproximación: la masa central es la Tierra, T² = (4π²/GM) a³. Hay que contar perturbaciones, el achatamiento de la Tierra y la resistencia de la atmósfera en órbita baja; para una estimación didáctica de la tercera ley basta.

¿Las órbitas de los planetas son elipses ideales?

En tiempos cortos, casi sí. Los demás planetas giran despacio el perihelio y deforman un poco la elipse. En Mercurio hay además un aporte de la relatividad general: unos 43″ por siglo después de restar las perturbaciones newtonianas.

Leyes de Kepler

Órbitas elípticas e igualdad de las áreas barridas (segunda ley).

Sobre el modelo

Las leyes de Kepler describen el movimiento de los planetas alrededor del Sol en el problema de dos cuerpos. La primera: la órbita es una elipse y el Sol está en uno de los focos. La segunda (ley de las áreas): el radio vector barre áreas iguales en intervalos iguales de tiempo — es la conservación del momento angular. La tercera: los cuadrados de los períodos de revolución están en la misma razón que los cubos de los semiejes mayores, T² ∝ a³, para una misma masa central. Newton mostró que todo esto sigue de F = GMm/r². En la página se pueden cambiar el semieje mayor, la excentricidad y la masa del centro, y comparar el período y las velocidades en el perihelio y el afelio. No hay perturbaciones de otros planetas ni la precesión relativista del perihelio de Mercurio.

Para quién: Astronomía y mecánica de secundaria después de la ley de gravitación universal; junto al movimiento orbital y la transferencia de Hohmann.

Conceptos clave

leyes de Kepler
órbita elíptica
ley de las áreas
semieje mayor
período de revolución
excentricidad
problema de dos cuerpos
tercera ley de Kepler

Cómo funciona

Kepler I: las órbitas ligadas son elipses con la masa central en uno de los focos. Kepler II: el radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales — aquí los sectores de color corresponden a un mismo Δt y deben tener casi la misma área (se muestra la dispersión numérica). Kepler III: en este modelo de dos cuerpos T² ∝ a³ si GM es constante; cambie a y GM y observe cómo T²/a³ sigue el escalamiento inverso de GM.

Fórmulas principales

M = E − e sin E → planeta (a(cos E − e), b sin E)

T = 2π √(a³ / GM), n = 2π / T

dA/dt = L / (2m) = const.

Preguntas frecuentes

¿Por qué el planeta va más rápido en el perihelio que en el afelio?: Segunda ley de Kepler: en el mismo tiempo se barre la misma área. Más cerca del Sol el radio vector es más corto, así que en el mismo intervalo el cuerpo recorre un arco mayor: la velocidad es mayor. Es lo mismo que la conservación del momento angular en un campo central.
¿Por qué la tercera ley relaciona justo T² y a³?: Para una órbita circular en un campo ∝ 1/r², al igualar la gravedad y la fuerza centrípeta queda ω²r³ = GM; con ω = 2π/T eso da T² ∝ r³. En una elipse, en el problema de dos cuerpos, el papel de la distancia lo juega el semieje mayor a.
¿Valen las leyes de Kepler para los satélites de la Tierra?: Sí, como buena aproximación: la masa central es la Tierra, T² = (4π²/GM) a³. Hay que contar perturbaciones, el achatamiento de la Tierra y la resistencia de la atmósfera en órbita baja; para una estimación didáctica de la tercera ley basta.
¿Las órbitas de los planetas son elipses ideales?: En tiempos cortos, casi sí. Los demás planetas giran despacio el perihelio y deforman un poco la elipse. En Mercurio hay además un aporte de la relatividad general: unos 43″ por siglo después de restar las perturbaciones newtonianas.

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