Warum ist die Bahn eine aufweitende Spirale und kein Kreis?

Im Spalt erhöht das elektrische Feld die kinetische Energie. Im homogenen B wächst der Radius r = mv/(qB) mit der Geschwindigkeit — die Halbkreise in den Duanten werden immer weiter.

Was geschieht, wenn die Frequenz im Spalt nicht gleich der Zyklotronfrequenz ist?

Die Resonanz bricht: das Teilchen kommt in den Spalt, wenn das Feld schon bremst oder nur schwach stößt. Der Energiegewinn reißt ab. Es braucht den Gleichlauf mit ω_c = qB/m.

Warum beschleunigt ein einfaches Zyklotron Teilchen nicht zu beliebigen Energien?

Die Formel ω_c = qB/m ist klassisch. Bei Geschwindigkeiten vergleichbar mit der Lichtgeschwindigkeit wächst die relativistische Masse, die Umlaufzeit ändert sich, das Teilchen fällt aus dem Takt mit dem Feld fester Frequenz. Weiter braucht man Synchrotron oder Synchrozyklotron.

Wozu das Magnetfeld, wenn das elektrische Feld beschleunigt?

Das Magnetfeld krümmt nur die Bahn und führt das Teilchen immer wieder in denselben Spalt. Ein Linearbeschleuniger kommt ohne B aus, aber jeder Spalt wird nur einmal durchlaufen. Das Zyklotron ist bei derselben Spannung kompakter.

Zyklotron (Schema)

Ein homogenes Magnetfeld krümmt die Bahn, ein wechselndes elektrisches Feld im Spalt zwischen den Duanten beschleunigt das Teilchen. Zyklotronfrequenz ω_c = qB/m.

Zum Modell

Das Zyklotron beschleunigt geladene Teilchen: ein homogenes B senkrecht zur Bahnebene zwingt die Ladung auf einen Kreis (Lorentzkraft), ein wechselndes E im Spalt zwischen den Duanten stößt sie zweimal je Umlauf an. Im nichtrelativistischen Fall hängt die Zyklotronfrequenz ω_c = qB/m nicht von der Geschwindigkeit ab: die Periode ist konstant, dasselbe Wechselfeld bleibt in Resonanz. Jeder Spaltdurchgang erhöht die kinetische Energie, der Radius r = mv/(qB) wächst — die Bahn wickelt sich zur Spirale auf. Auf dem Schema ein Mittelstreifen mit E ∝ sin(ω_c t). Relativistisches Massenwachstum, Vakuumsystem und HF-Resonator werden nicht gerechnet.

Für wen: Jahrgangsstufe 11 und Elektrodynamik im Studium: Lorentzkraft, Zyklotron, Ladung in Feldern.

Wichtige Begriffe

Zyklotron
Lorentzkraft
Zyklotronfrequenz
Duanten
resonante Beschleunigung
Spiralbahn

So funktioniert es

Homogenes B krümmt die Ladung auf einen Kreis, wechselndes E im Spalt zwischen den Duanten führt Energie im Takt der Zyklotronfrequenz ω_c = qB/m zu (nichtrelativistisch). Auf dem Schema ein Mittelstreifen mit E ∝ sin(ω_c t). Lehrschema: ohne HF-Rechnung und ohne relativistische Korrekturen.

Wichtige Gleichungen

F = q(E + v×B) · ω_c = qB/m · Resonanz: E wechselt jeden Halbumlauf (ideal)

Häufige Fragen

Warum ist die Bahn eine aufweitende Spirale und kein Kreis?: Im Spalt erhöht das elektrische Feld die kinetische Energie. Im homogenen B wächst der Radius r = mv/(qB) mit der Geschwindigkeit — die Halbkreise in den Duanten werden immer weiter.
Was geschieht, wenn die Frequenz im Spalt nicht gleich der Zyklotronfrequenz ist?: Die Resonanz bricht: das Teilchen kommt in den Spalt, wenn das Feld schon bremst oder nur schwach stößt. Der Energiegewinn reißt ab. Es braucht den Gleichlauf mit ω_c = qB/m.
Warum beschleunigt ein einfaches Zyklotron Teilchen nicht zu beliebigen Energien?: Die Formel ω_c = qB/m ist klassisch. Bei Geschwindigkeiten vergleichbar mit der Lichtgeschwindigkeit wächst die relativistische Masse, die Umlaufzeit ändert sich, das Teilchen fällt aus dem Takt mit dem Feld fester Frequenz. Weiter braucht man Synchrotron oder Synchrozyklotron.
Wozu das Magnetfeld, wenn das elektrische Feld beschleunigt?: Das Magnetfeld krümmt nur die Bahn und führt das Teilchen immer wieder in denselben Spalt. Ein Linearbeschleuniger kommt ohne B aus, aber jeder Spalt wird nur einmal durchlaufen. Das Zyklotron ist bei derselben Spannung kompakter.

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