Warum sind die Wahrscheinlichkeiten cos²(θ/2) und sin²(θ/2) und nicht cos²θ?

Spinzustände mit s = ½ verhalten sich bei Drehungen wie Objekte mit der Periode 4π, nicht 2π. Die Amplitude enthält cos(θ/2) und sin(θ/2); die Wahrscheinlichkeit ist das Betragsquadrat. Das ist eine Eigenschaft des zweikomponentigen Spinors, keine klassische Dipolprojektion.

Was geschieht, wenn man nach dem ersten Apparat eine Komponente nicht ausblendet?

Am SG₂ kommt ein Gemisch aus |+z⟩ und |−z⟩ an, und die Anteile mitteln sich. Die Formel cos²(θ/2) gilt für den reinen Zustand nach dem Filter. Hier ist gerade vorausgesetzt, dass ein Zweig abgeschnitten ist.

Geht das nur um den Elektronenspin?

Dieselbe Mathematik beschreibt jedes Zweiniveausystem: die Polarisation des Photons (dort steht in der Formel ein anderer Winkel), den Kernspin in der NMR und das Qubit. Der Stern-Gerlach-Versuch ist das historische Vorbild einer solchen Messung.

Sind die Kraft auf das magnetische Moment und die Bahnen der Atome berücksichtigt?

Nein. Die Kraft F = ∇(μ·B), die im Magneten die Strahlen räumlich trennt, wird nicht gerechnet. Auf dem Bildschirm stehen nur die Wahrscheinlichkeiten der Ausgänge nach der Zustandspräparation und der zweiten Messung.

Stern-Gerlach-Versuch (sequenziell)

Zwei Stern-Gerlach-Apparate: die Wahrscheinlichkeit „oben“ am zweiten ist cos²(θ/2) oder sin²(θ/2) nach dem Filter |±z⟩.

Zum Modell

Im sequenziellen Stern-Gerlach-Versuch durchläuft ein Strahl von Spin-½-Teilchen (Silberatome, Elektronen) zwei Apparate. Der erste (SG₁) bereitet den Zustand längs einer Achse, etwa |+z⟩: eine Komponente ist herausgefiltert. Der zweite (SG₂) ist um den Winkel θ gedreht und misst die Projektion auf die neue Achse. Für Spin ½ ist die Wahrscheinlichkeit „oben“ am zweiten Apparat P(+) = cos²(θ/2), „unten“ P(−) = sin²(θ/2) — das Betragsquadrat der Amplitude, nicht das klassische cos²θ. Der erste Filter gilt als ideal; die Entwicklung des Wellenpakets und die Einzelheiten des Feldes B werden nicht modelliert. Ändert man θ, sieht man: die einzelnen Ausgänge sind diskret, die Wahrscheinlichkeit ändert sich stetig. Ein reiner Zustand |+z⟩ und ein Gemisch aus |+z⟩ und |−z⟩ liefern am SG₂ verschiedene Statistik.

Für wen: Quantenmechanik und Moderne Physik: Spin, Messung und Stern-Gerlach-Versuch.

Wichtige Begriffe

Stern-Gerlach-Versuch
Spin-½
Quantenmessung
Zustandspräparation
Projektionswahrscheinlichkeit
Superposition
Drehimpulsquantelung

So funktioniert es

Zwei Stern-Gerlach-Apparate: nach dem Filter |±z⟩ ist am SG₂ die Wahrscheinlichkeit „oben“ gleich cos²(θ/2) oder sin²(θ/2). Der Winkel θ legt die Neigung des zweiten Magneten fest. Die Zwischenbasis zählt: klassische verborgene Projektionen auf alle Achsen zugleich greifen hier nicht.

Häufige Fragen

Warum sind die Wahrscheinlichkeiten cos²(θ/2) und sin²(θ/2) und nicht cos²θ?: Spinzustände mit s = ½ verhalten sich bei Drehungen wie Objekte mit der Periode 4π, nicht 2π. Die Amplitude enthält cos(θ/2) und sin(θ/2); die Wahrscheinlichkeit ist das Betragsquadrat. Das ist eine Eigenschaft des zweikomponentigen Spinors, keine klassische Dipolprojektion.
Was geschieht, wenn man nach dem ersten Apparat eine Komponente nicht ausblendet?: Am SG₂ kommt ein Gemisch aus |+z⟩ und |−z⟩ an, und die Anteile mitteln sich. Die Formel cos²(θ/2) gilt für den reinen Zustand nach dem Filter. Hier ist gerade vorausgesetzt, dass ein Zweig abgeschnitten ist.
Geht das nur um den Elektronenspin?: Dieselbe Mathematik beschreibt jedes Zweiniveausystem: die Polarisation des Photons (dort steht in der Formel ein anderer Winkel), den Kernspin in der NMR und das Qubit. Der Stern-Gerlach-Versuch ist das historische Vorbild einer solchen Messung.
Sind die Kraft auf das magnetische Moment und die Bahnen der Atome berücksichtigt?: Nein. Die Kraft F = ∇(μ·B), die im Magneten die Strahlen räumlich trennt, wird nicht gerechnet. Auf dem Bildschirm stehen nur die Wahrscheinlichkeiten der Ausgänge nach der Zustandspräparation und der zweiten Messung.

Machen Sie mit verwandten Themen in dieser Kategorie weiter — oder alle 65 in „Chemie“.

Ganze Kategorie →

NeuSchule

Stern-Gerlach-Versuch

Simulation starten

Silberatomstrahl im inhomogenen Magnetfeld: zwei Komponenten, S_z = ±ℏ/2.

NeuSchule

Teilchen im Kasten

Simulation starten

Superposition der Zustände n = 1 und n = 2: Zeitentwicklung von |Ψ|² und Mittelwert ⟨E⟩ (Modelleinheiten).

NeuHochschule / Forschung

Eigenzustände im Potenzialkasten

Simulation starten

Stationäre ψ_n und |ψ_n|²: unendlich hoher Potenzialkasten oder harmonischer Oszillator; Phase e^{−iE_n t/ℏ} (ℏ = 1).

NeuSchule

Atomorbitale

Simulation starten

Ebene Farbkarte |ψ|² für s-, p- und d-artige Winkelverteilungen (Schulmodell, keine Hartree-Fock-Rechnung).

NeuHochschule / Forschung

CHSH-Bell-Ungleichung

Simulation starten

Monte-Carlo für das Singulett |Ψ⁻⟩ bei vier Winkeln (a, a′, b, b′): die Schätzung Ŝ strebt bei den kanonischen Bell-Winkeln gegen die Tsirelson-Grenze 2√2 ≈ 2,828 und verletzt die lokal-realistische Schranke |S| ≤ 2.

NeuHochschule / Forschung

Wigner-Funktion

Simulation starten

Quasiewahrscheinlichkeit W(x, p) im Phasenraum für einen gaußschen Einmodenzustand: kohärent |α⟩, verschoben-gequetscht D(α)S(ξ)|0⟩ und thermisch. Die 1σ-Ellipse dreht sich um die halbe Quetschphase und wird unter die Vakuumgrenze in einer Quadratur zusammengedrückt.

Stern-Gerlach-Versuch (sequenziell)

Zum Modell

So funktioniert es

Häufige Fragen

Ähnliche Simulationen

Stern-Gerlach-Versuch

Teilchen im Kasten

Eigenzustände im Potenzialkasten

Atomorbitale

CHSH-Bell-Ungleichung

Wigner-Funktion

Stern-Gerlach-Versuch (sequenziell)

Zum Modell

So funktioniert es

Häufige Fragen