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Início/Química/Experiência de Stern–Gerlach em sequência

Experiência de Stern–Gerlach em sequência

Dois aparelhos de Stern–Gerlach: a probabilidade de «para cima» no segundo é cos²(θ/2) ou sin²(θ/2) após o filtro |±z⟩.

Ajuste

45°

Para spin ½, após a projeção sobre ẑ, uma segunda medida ao longo de um vetor unitário inclinado de θ em relação a ẑ dá P(para cima) = cos²(θ/2) no ramo |+z⟩ e sin²(θ/2) em |-z⟩: não há aqui um parâmetro oculto clássico que explique todos os ângulos.

Grandezas medidas

P(para cima em SG₂)0.8536
P(para baixo)0.1464

Sobre o modelo

Na experiência de Stern–Gerlach em sequência, um feixe de partículas de spin ½ (átomos de prata, elétrons) atravessa dois aparelhos. O primeiro (SG₁) prepara o estado ao longo de um eixo, por exemplo |+z⟩: filtra-se uma componente. O segundo (SG₂) está girado de um ângulo θ e mede a projeção sobre o eixo novo. Para spin ½, a probabilidade de «para cima» no segundo aparelho é P(+) = cos²(θ/2) e a de «para baixo» P(−) = sin²(θ/2): o quadrado do módulo da amplitude, não o cos²θ clássico. O primeiro filtro toma-se como ideal; não se modelam a evolução do pacote de onda nem os detalhes do campo B. Ao mudar θ vê-se que os resultados individuais são discretos e a probabilidade muda de forma contínua. Um estado puro |+z⟩ e uma mistura de |+z⟩ com |−z⟩ dão estatísticas distintas em SG₂.

Para quem: Mecânica quântica e física moderna: spin, medida e a experiência de Stern–Gerlach.

Conceitos-chave

  • experiência de Stern–Gerlach
  • spin ½
  • medida quântica
  • preparação de estado
  • probabilidade de projeção
  • superposição
  • quantização do momento angular

Como funciona

Dois aparelhos de Stern–Gerlach: após o filtro |±z⟩, em SG₂ a probabilidade de «para cima» é cos²(θ/2) ou sin²(θ/2). O ângulo θ fixa a inclinação do segundo ímã. A base intermediária importa: as projeções clássicas ocultas sobre todos os eixos ao mesmo tempo não funcionam aqui.

Perguntas frequentes

Por que as probabilidades são cos²(θ/2) e sin²(θ/2), e não cos²θ?
Os estados de spin com s = ½, ao girar, comportam-se como objetos de período 4π, não 2π. A amplitude leva cos(θ/2) e sin(θ/2); a probabilidade é o quadrado do módulo. É uma propriedade do spinor de duas componentes, não da projeção clássica de um dipolo.
O que acontece se não se fechar uma componente após o primeiro aparelho?
Chega a SG₂ uma mistura de |+z⟩ e |−z⟩, e faz-se a média das duas contribuições. A fórmula cos²(θ/2) vale para o estado puro depois do filtro. Aqui se supõe justamente que um ramo está cortado.
Isso é só do spin do elétron?
A mesma matemática descreve qualquer sistema de dois níveis: a polarização do fóton (lá o ângulo da fórmula é outro), o spin nuclear na RMN e o qubit. A experiência de Stern–Gerlach é o modelo histórico dessa medida.
Levam-se em conta a força sobre o momento magnético e as trajetórias dos átomos?
Não. A força F = ∇(μ·B), que no ímã separa os feixes no espaço, não se calcula. Na tela só estão as probabilidades dos resultados após a preparação do estado e a segunda medida.