Warum ist σ_xy quantisiert?

Liegt μ zwischen den Niveaus, ist eine ganze Zahl von Niveaus gefüllt. Die Topologie der Randmoden und die Eichinvarianz liefern im Idealfall σ_xy = ν_f e²/h.

Was ist eine streifende Bahn?

Klassisch wird das Elektron in jeder Zyklotronperiode am Rand reflektiert und rückt entlang der Grenze vor. Quantentheoretisch hängt das mit den chiralen Randzuständen zusammen, die den Hall-Strom tragen.

Wie hängen die Randkanäle mit ν zusammen?

Jedes gefüllte Landau-Niveau liefert je eine chirale Mode am Rand; bei ν_f gefüllten Niveaus gilt σ_xy = ν_f e²/h.

Warum sinken die Plateaus, wenn B wächst?

Bei festem n_s fällt ν = 2πn_s/B mit wachsendem B, und ν_f durchläuft sprunghaft die ganzen Zahlen.

Quanten-Hall-Effekt: Randzustände

Ganzzahliger Quanten-Hall-Effekt: chirale Randkanäle, gefüllte Landau-Niveaus und quantisierte Plateaus σ_xy = ν_f e²/h.

Zum Modell

Der ganzzahlige Quanten-Hall-Effekt im zweidimensionalen Elektronengas verbindet die Landau-Quantisierung im Volumen mit eindimensionalen chiralen Randkanälen. Niveaus E_n = ℏω_c(n+½), Entartung je Niveau n_B = qB/h, Füllung ν = n_s/n_B. Liegt das chemische Potential μ in einer Lücke, sind ν_f = ⌊ν⌋ Niveaus gefüllt und die Hall-Leitfähigkeit ist σ_xy = ν_f e²/h — ein Plateau. Der Strom läuft an den Rändern; streifende Bahnen veranschaulichen die Drift entlang der Grenze. Auf dem Bildschirm der Hall-Steg mit Kanälen, die Landau-Leiter und σ_xy(B) bei fester Dichte n_s. Ohne Unordnung, ohne gebrochenzahligen Quanten-Hall-Effekt und ohne Spin; ℏ = e = 1.

Für wen: Höhere Semester nach den Landau-Niveaus.

Wichtige Begriffe

Quanten-Hall-Effekt
Randzustände
chiraler Kanal
streifende Bahn
Landau-Niveau
Hall-Leitfähigkeit
Füllfaktor ν

So funktioniert es

Zweidimensionales Elektronengas im Feld B: E_n = ℏω_c(n+½), Füllung ν = 2π n_s/B (ℏ = e = 1). Liegt μ in einer Lücke, sind ν_f = ⌊ν⌋ Niveaus gefüllt — Plateau σ_xy = ν_f e²/h. Links der Hall-Steg, chirale Randkanäle und eine streifende Bahn; rechts die Landau-Leiter und μ; unten σ_xy(B) bei festem n_s.

Häufige Fragen

Warum ist σ_xy quantisiert?: Liegt μ zwischen den Niveaus, ist eine ganze Zahl von Niveaus gefüllt. Die Topologie der Randmoden und die Eichinvarianz liefern im Idealfall σ_xy = ν_f e²/h.
Was ist eine streifende Bahn?: Klassisch wird das Elektron in jeder Zyklotronperiode am Rand reflektiert und rückt entlang der Grenze vor. Quantentheoretisch hängt das mit den chiralen Randzuständen zusammen, die den Hall-Strom tragen.
Wie hängen die Randkanäle mit ν zusammen?: Jedes gefüllte Landau-Niveau liefert je eine chirale Mode am Rand; bei ν_f gefüllten Niveaus gilt σ_xy = ν_f e²/h.
Warum sinken die Plateaus, wenn B wächst?: Bei festem n_s fällt ν = 2πn_s/B mit wachsendem B, und ν_f durchläuft sprunghaft die ganzen Zahlen.

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