Das Drude-Sommerfeld-Modell beschreibt Metalle als Gas freier Elektronen mit der Relaxationszeit τ. Beim Gleichstrom gilt σ₀ = ne²τ/m, die Beweglichkeit μ = eτ/m und die mittlere freie Weglänge ℓ = v_F τ. Die komplexe Leitfähigkeit σ(ω) = σ₀/(1−iωτ) liefert den Abfall von Re σ bei ω ∼ 1/τ und ein Maximum von Im σ — daraus folgen die Frequenzabhängigkeit des Widerstands und der Skin-Effekt, δ = √(2/(ωμ₀ Re σ)). Im Feld B: σ_xx = σ₀/(1+(ω_cτ)²), σ_xy = σ₀ ω_cτ/(1+(ω_cτ)²), ω_c = eB/m. Auf dem Bildschirm σ(ω), die Hall-Komponenten über B, die Eindringtiefe δ(ω) und eine Skizze von ℓ. Im Modell ist e = m = 1; für δ wird die Leitfähigkeit auf Kupfermaßstab gebracht, eine Einheit ω entspricht 2π MHz, damit die Werte in µm mit der Seite zum Skin-Effekt vergleichbar sind.
Für wen: Festkörperphysik im Bachelor nach dem Modell freier Elektronen: Leitfähigkeit, Skin-Effekt und klassischer Hall-Effekt.
Wichtige Begriffe
drude-modell
sommerfeld-theorie
stoßzeit
beweglichkeit
wechselstromleitfähigkeit
mittlere freie weglänge
eindringtiefe
hall-effekt
So funktioniert es
Drude-Modell: σ₀ = nτ, σ(ω) = σ₀/(1−iωτ), μ = τ, ℓ = v_F τ (e = m = 1). Oben Re σ und Im σ über der Frequenz; rechts σ_xx(B) und σ_xy(B); unten die Eindringtiefe δ(ω) = √(2/(ωμ₀ Re σ)) und der Balken der freien Weglänge ℓ. Für δ wird die Modell-σ auf Kupfermaßstab gebracht, eine Einheit ω entspricht 2π MHz.
Häufige Fragen
Was ist die Stoßzeit τ?
Die mittlere Zeit zwischen Stößen an Störstellen, Phononen und Defekten. Je kleiner τ, desto niedriger die Beweglichkeit μ und desto höher der Widerstand.
Warum fällt Re σ(ω) bei hohen Frequenzen?
Bei ωτ ≳ 1 können die Elektronen dem Feld nicht mehr folgen: der dissipative (gleichphasige) Anteil der Leitfähigkeit nimmt ab.
Wie hängt die Leitfähigkeit mit dem Skin-Effekt zusammen?
Wechselstrom dringt nur bis zur Tiefe δ ein, die durch Re σ(ω) gesetzt wird. Der Abfall von σ bei hohem ω geht in die Frequenzabhängigkeit von δ ein.
Wie sieht der Hall-Effekt im Drude-Modell aus?
σ_xy wächst proportional zu B, während σ_xx unterdrückt wird — das klassische Bild vor den Quantenplateaus des Quanten-Hall-Effekts.