Фазы θ_i со связью «все со всеми» и собственными частотами ω_i: параметр порядка r = |N⁻¹ Σ e^{iθ_i}| растёт с константой связи K — классический переход к синхронизации.
О модели
Модель Курамото — канонический пример коллективной синхронизации в среднем поле: N фазовых осцилляторов с собственными частотами ω_i и связью «все со всеми» силой K. Комплексный параметр порядка Z = r e^{iψ} = N⁻¹ Σ_j e^{iθ_j} даёт уравнение θ̇_i = ω_i + K r sin(ψ − θ_i) — то же, что полная сумма (K/N) Σ_j sin(θ_j − θ_i), но за O(N) на шаг. Страница интегрирует ОДУ методом Рунге–Кутты 4-го порядка, рисует каждый осциллятор на единичной окружности (цвет кодирует ω_i), золотой стрелкой показывает Z, а справа — r(t) как меру когерентности. Меняйте K и разброс частот, наблюдая частичную и почти полную синхронизацию на конечном N; точное критическое K зависит от распределения ω и предела N → ∞.
Для кого: Вузовская нелинейная динамика и статфизика: связанные осцилляторы и параметр порядка.
Ключевые понятия
модель Курамото
синхронизация
параметр порядка
среднеполевая связь
метод Рунге–Кутты
фазовый осциллятор
Как это работает
Модель Курамото: θ̇_i = ω_i + (K/N) Σ_j sin(θ_j − θ_i); на экране — фазы на круге, золотая стрелка Z = r e^{iψ} и график r(t). Ползунки K, разброс ω (равномерно ±Δω), N; интегрирование методом Рунге–Кутты 4-го порядка. Для распределения Коши в пределе большого N критическая связь K_c = 2γ (полуширина γ) — ориентир для интуиции.
Основные формулы
θ̇_i = ω_i + (K/N) Σ_j sin(θ_j − θ_i). With Z = r e^{iψ} = N⁻¹ Σ_j e^{iθ_j}, the sum becomes K r sin(ψ − θ_i), so each oscillator feels the mean field of the population.
Часто задаваемые вопросы
Почему динамика O(N), если в учебнике сумма по j?
Потому что Σ_j sin(θ_j − θ_i) = Im(e^{-iθ_i} Σ_j e^{iθ_j}) = N r sin(ψ − θ_i). Вся популяция входит только через два числа r и ψ.
Означает ли r = 1 полную глобальную синхронизацию?
Обычно r ≈ 1 — почти все фазы в одном вращающемся кластере; строго r = 1 при ненулевом разбросе ω редко достижимо без очень большого K.
Что значит замечание про K_c = 2γ для распределения Коши?
В пределе N → ∞ для частот Коши с полушириной γ несогласованное состояние теряет устойчивость при K_c = 2γ. Это ориентир, а не точка критики для равномерного распределения частот на экране.