¿Por qué la dinámica es O(N) si en el texto la suma es sobre j?

Porque Σ_j sin(θ_j − θ_i) = Im(e^{-iθ_i} Σ_j e^{iθ_j}) = N r sin(ψ − θ_i). Toda la población entra solo a través de dos números, r y ψ.

¿r = 1 significa sincronización global completa?

Por lo general r ≈ 1 — casi todas las fases en un mismo cúmulo que rota; un r = 1 estricto con dispersión no nula de ω casi no se alcanza sin un K muy grande.

¿Qué significa la nota K_c = 2γ para la distribución de Cauchy?

En el límite N → ∞, para frecuencias de Cauchy con semianchura γ, el estado incoherente pierde estabilidad en K_c = 2γ. Es una guía, no el punto crítico de la distribución uniforme de frecuencias en pantalla.

Modelo de Kuramoto

Fases θ_i con acoplamiento todos-con-todos y frecuencias propias ω_i: el parámetro de orden r = |N⁻¹ Σ e^{iθ_i}| crece con la constante de acoplamiento K — transición clásica a la sincronización.

Sobre el modelo

El modelo de Kuramoto es el ejemplo canónico de sincronización colectiva en campo medio: N osciladores de fase con frecuencias propias ω_i y acoplamiento todos-con-todos de intensidad K. El parámetro de orden complejo Z = r e^{iψ} = N⁻¹ Σ_j e^{iθ_j} da la ecuación θ̇_i = ω_i + K r sin(ψ − θ_i) — lo mismo que la suma completa (K/N) Σ_j sin(θ_j − θ_i), pero en O(N) por paso. La página integra las EDO con el método de Runge–Kutta de orden 4, dibuja cada oscilador en la circunferencia unidad (el color codifica ω_i), muestra Z con una flecha dorada y a la derecha r(t) como medida de coherencia. Cambie K y la dispersión de frecuencias para ver sincronización parcial y casi completa a N finito; el K crítico exacto depende de la distribución de ω y del límite N → ∞.

Para quién: Dinámica no lineal y física estadística de facultad: osciladores acoplados y parámetro de orden.

Conceptos clave

modelo de Kuramoto
sincronización
parámetro de orden
acoplamiento de campo medio
método de Runge–Kutta
oscilador de fase

Cómo funciona

Modelo de Kuramoto: θ̇_i = ω_i + (K/N) Σ_j sin(θ_j − θ_i); en pantalla — fases en el círculo, flecha dorada Z = r e^{iψ} y gráfica de r(t). Controles: K, dispersión de ω (uniforme ±Δω), N; integración con Runge–Kutta de orden 4. Para la distribución de Cauchy en el límite de N grande el acoplamiento crítico es K_c = 2γ (semianchura γ) — una guía para la intuición.

Fórmulas principales

θ̇_i = ω_i + (K/N) Σ_j sin(θ_j − θ_i). With Z = r e^{iψ} = N⁻¹ Σ_j e^{iθ_j}, the sum becomes K r sin(ψ − θ_i), so each oscillator feels the mean field of the population.

Preguntas frecuentes

¿Por qué la dinámica es O(N) si en el texto la suma es sobre j?: Porque Σ_j sin(θ_j − θ_i) = Im(e^{-iθ_i} Σ_j e^{iθ_j}) = N r sin(ψ − θ_i). Toda la población entra solo a través de dos números, r y ψ.
¿r = 1 significa sincronización global completa?: Por lo general r ≈ 1 — casi todas las fases en un mismo cúmulo que rota; un r = 1 estricto con dispersión no nula de ω casi no se alcanza sin un K muy grande.
¿Qué significa la nota K_c = 2γ para la distribución de Cauchy?: En el límite N → ∞, para frecuencias de Cauchy con semianchura γ, el estado incoherente pierde estabilidad en K_c = 2γ. Es una guía, no el punto crítico de la distribución uniforme de frecuencias en pantalla.

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