Por que a dinâmica é O(N) se no texto a soma é sobre j?

Porque Σ_j sin(θ_j − θ_i) = Im(e^{-iθ_i} Σ_j e^{iθ_j}) = N r sin(ψ − θ_i). A população inteira entra só por dois números, r e ψ.

r = 1 significa sincronização global completa?

Em geral r ≈ 1 — quase todas as fases num mesmo aglomerado que gira; um r = 1 estrito com dispersão não nula de ω quase não se alcança sem um K muito grande.

O que significa a nota K_c = 2γ para a distribuição de Cauchy?

No limite N → ∞, para frequências de Cauchy com semilargura γ, o estado incoerente perde estabilidade em K_c = 2γ. É um guia, não o ponto crítico da distribuição uniforme de frequências na tela.

Osciladores de Kuramoto

Fases θ_i com acoplamento todos-com-todos e frequências próprias ω_i: o parâmetro de ordem r = |N⁻¹ Σ e^{iθ_i}| cresce com a constante de acoplamento K — transição clássica à sincronização.

Sobre o modelo

Os osciladores de Kuramoto são o exemplo canônico de sincronização coletiva em campo médio: N osciladores de fase com frequências próprias ω_i e acoplamento todos-com-todos de intensidade K. O parâmetro de ordem complexo Z = r e^{iψ} = N⁻¹ Σ_j e^{iθ_j} dá a equação θ̇_i = ω_i + K r sin(ψ − θ_i) — o mesmo que a soma completa (K/N) Σ_j sin(θ_j − θ_i), porém em O(N) por passo. As EDO são integradas pelo método de Runge–Kutta de 4ª ordem; cada oscilador aparece na circunferência unitária (a cor codifica ω_i), a seta dourada mostra Z e, à direita, r(t) mede a coerência. Varie K e a dispersão das frequências para ver sincronização parcial e quase completa em N finito; o K crítico exato depende da distribuição de ω e do limite N → ∞.

Para quem: Dinâmica não linear e física estatística na graduação: osciladores acoplados e parâmetro de ordem.

Conceitos-chave

osciladores de Kuramoto
sincronização
parâmetro de ordem
acoplamento de campo médio
método de Runge–Kutta
oscilador de fase

Como funciona

Osciladores de Kuramoto: θ̇_i = ω_i + (K/N) Σ_j sin(θ_j − θ_i); na tela — fases no círculo, seta dourada Z = r e^{iψ} e gráfico de r(t). Controles: K, dispersão de ω (uniforme ±Δω), N; integração por Runge–Kutta de 4ª ordem. Para a distribuição de Cauchy no limite de N grande o acoplamento crítico é K_c = 2γ (semilargura γ) — um guia para a intuição.

Fórmulas principais

θ̇_i = ω_i + (K/N) Σ_j sin(θ_j − θ_i). With Z = r e^{iψ} = N⁻¹ Σ_j e^{iθ_j}, the sum becomes K r sin(ψ − θ_i), so each oscillator feels the mean field of the population.

Perguntas frequentes

Por que a dinâmica é O(N) se no texto a soma é sobre j?: Porque Σ_j sin(θ_j − θ_i) = Im(e^{-iθ_i} Σ_j e^{iθ_j}) = N r sin(ψ − θ_i). A população inteira entra só por dois números, r e ψ.
r = 1 significa sincronização global completa?: Em geral r ≈ 1 — quase todas as fases num mesmo aglomerado que gira; um r = 1 estrito com dispersão não nula de ω quase não se alcança sem um K muito grande.
O que significa a nota K_c = 2γ para a distribuição de Cauchy?: No limite N → ∞, para frequências de Cauchy com semilargura γ, o estado incoerente perde estabilidade em K_c = 2γ. É um guia, não o ponto crítico da distribuição uniforme de frequências na tela.

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