Почему каждая итерация резко удлиняет строку?

Переписывание параллельно заменяет символы более длинными словами, поэтому длина строки (и сложность рисунка) обычно растёт экспоненциально с глубиной. Поэтому высокие итерации быстро становятся плотными.

Что означают push и pop у черепахи?

Символы ветвления сохраняют позицию и направление черепахи (push) и позже восстанавливают их (pop), чтобы нарисовать боковую ветвь и продолжить основной ствол из сохранённого состояния.

Являются ли конечные итерации настоящими математическими фракталами?

Конечные итерации — многоугольные приближения. Фрактальный предел появляется лишь при стремлении глубины к бесконечности (с уменьшением шага), что экран может лишь намекнуть.

L-Systems (Turtle)

Lindenmayer string rewriting + turtle: Koch, Sierpinski, Hilbert, Heighway dragon, plant.

О модели

L-системы (системы Линденмайера) наращивают строки параллельными правилами переписывания, затем интерпретируют строку черепашьей графикой: шаг вперёд, поворот, push/pop состояния для ветвей. Симулятор включает классические грамматики — кривая Коха, треугольник Серпинского, кривая Гильберта, дракон Хейвея и растениеподобная аксиома — так что каждая итерация удлиняет строку и уточняет рисунок. Угол поворота, длина шага и глубина итерации задают итоговую геометрию на экране. Модель — детерминированная контекстно-свободная черепашья интерпретация без стохастических правил, биологического роста во времени и трёхмерных заголовков сверх плоских пресетов. Увеличивайте число итераций и переключайте пресеты, чтобы увидеть, как локальные строковые правила порождают глобальные фрактальные и «ботанические» формы.

Для кого: Дискретная математика, компьютерная графика, формальные языки и курсы по фракталам / генеративному искусству.

Ключевые понятия

L-система
Черепашья графика
Переписывание строк
Кривая Коха
Кривая Гильберта
Дракон Хейвея

Как это работает

An L-system is a parallel string-rewriting grammar invented by Aristid Lindenmayer (1968) to model plant growth. Start with an axiom and repeatedly substitute every symbol by its production. A turtle then walks the resulting string: F = step forward, +/− = turn by δ, [/] = push/pop position. With just a few rules you can reproduce Koch snowflake, the Hilbert space-filling curve, the Heighway dragon, Sierpinski triangles and remarkably plant-like trees.

Основные формулы

stringₙ₊₁ = apply(rules, stringₙ)

turtle: F→step, +→turn(+δ), −→turn(−δ), [/]→push/pop

|stringₙ| = O(bⁿ) where b = max |rule|

Часто задаваемые вопросы

Почему каждая итерация резко удлиняет строку?: Переписывание параллельно заменяет символы более длинными словами, поэтому длина строки (и сложность рисунка) обычно растёт экспоненциально с глубиной. Поэтому высокие итерации быстро становятся плотными.
Что означают push и pop у черепахи?: Символы ветвления сохраняют позицию и направление черепахи (push) и позже восстанавливают их (pop), чтобы нарисовать боковую ветвь и продолжить основной ствол из сохранённого состояния.
Являются ли конечные итерации настоящими математическими фракталами?: Конечные итерации — многоугольные приближения. Фрактальный предел появляется лишь при стремлении глубины к бесконечности (с уменьшением шага), что экран может лишь намекнуть.

Другие симуляторы в этой категории — или все 85.

Вся категория →

НовоеШкольные

Bézier & de Casteljau

Запустить симулятор

Drag control points; live recursive linear-interpolation scaffolding evaluates B(t).

НовоеШкольные

Выпуклая оболочка (Грэм и QuickHull)

Запустить симулятор

Точки на плоскости: обход Грэма с пошаговой анимацией или QuickHull; сравнение множеств вершин.

НовоеШкольные

Delaunay & Voronoi

Запустить симулятор

Bowyer–Watson triangulation and dual Voronoi tessellation; click to add seeds, drag to move.

НовоеУниверситет / научные

Слизевик Physarum (агенты)

Запустить симулятор

~4500 агентов следуют за отложенным хемоаттрактантом: депозит + диффузия + распад + три сенсорных луча — самоорганизуются в сетки путей.

НовоеШкольные

Сглаживание Савицкого–Голэя

Запустить симулятор

Зашумлённый косинус и свёртка SG(7,2) — фильтр лучше сохраняет пики по сравнению с широким прямоугольным окном.

НовоеШкольные

Цепь Маркова (Погода)

Запустить симулятор

Двухсостоянияя цепь Солнце/Дождь: матрица P, стационарное распределение π, эмпирическое и теоретическое.

L-Systems (Turtle)

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы

Ещё из «Визуализация математики»

Bézier & de Casteljau

Выпуклая оболочка (Грэм и QuickHull)

Delaunay & Voronoi

Слизевик Physarum (агенты)

Сглаживание Савицкого–Голэя

Цепь Маркова (Погода)

L-Systems (Turtle)

О модели

Как это работает

Основные формулы

Часто задаваемые вопросы