Треугольные P1-элементы для −Δu = f на квадрате: сборка матриц жёсткости, закреплённые узлы Дирихле или естественный поток Неймана, решение методом сопряжённых градиентов, потенциал как цветная мембрана.
О модели
Уравнение Пуассона −Δu = f на единичном квадрате решается методом конечных элементов. Область разбита на регулярную треугольную сетку; на каждом треугольнике — линейные базисные функции P1. Локальная матрица жёсткости собирается по градиентам базиса, Kᵉ_ij = (b_i b_j + c_i c_j)/(4A), и добавляется в разреженную глобальную систему. Источник интегрируется по центроиду. При условиях Дирихле все граничные узлы закреплены: u = 0, как мембрана, зажатая по рамке. В смешанном режиме левая и правая стороны — Дирихле, а верх и низ дают естественные потоки Неймана в правую часть. Симметричная положительно определённая система решается методом сопряжённых градиентов. Слева потенциал раскрашен по треугольникам, справа то же поле поднято как деформируемая мембрана.
Для кого: Численные уравнения в частных производных и вычислительная механика: слабая форма, треугольники P1, условия Дирихле и Неймана.
Ключевые понятия
метод конечных элементов
уравнение Пуассона
треугольная сетка
элемент P1
слабая форма
условие Дирихле
условие Неймана
метод сопряжённых градиентов
Как это работает
Уравнение −Δu = f на квадрате: область разбита на треугольники P1, локальные матрицы жёсткости собираются в глобальную систему. Условие Дирихле закрепляет узлы, условие Неймана добавляет поток в правую часть. Решение методом сопряжённых градиентов показано как цветной потенциал и как высота мембраны.
Основные формулы
Weak form: find u such that ∫Ω ∇u·∇v dΩ = ∫Ω f v dΩ + ∫Γ_N g v ds. P1 triangles give local stiffness K_ij^e = (b_i b_j + c_i c_j)/(4A); Dirichlet values are pinned.
Часто задаваемые вопросы
Что физически описывает −Δu = f?
Электростатический потенциал от плотности заряда, стационарную теплопроводность с источниками или прогиб мембраны под нагрузкой. Интерпретации разные, эллиптический оператор и граничные условия те же.
Почему условия Неймана называют естественными в МКЭ?
После интегрирования по частям потоковые члены входят в правую часть как ∫_Γ_N g v ds. Значения Дирихле приходится навязывать закреплением степеней свободы, а данные Неймана входят напрямую как нагрузка.
Это промышленный код метода конечных элементов?
Нет. Учебная модель на структурированной треугольной сетке с простой квадратурой и базовым методом сопряжённых градиентов. Промышленные пакеты добавляют генерацию сеток, элементы высокого порядка, предобуславливание, оценку погрешности и сложные геометрии.