Что физически решается?

**−Δu=f** может описывать электростатический потенциал от плотности заряда, стационарную теплопроводность с источниками или прогиб мембраны под нагрузкой. Интерпретации разные, но эллиптический оператор и граничные условия те же.

Почему условия Неймана называют естественными в FEM?

После интегрирования по частям потоковые члены появляются в правой части как **∫Γ_N g v ds**. Значения Дирихле приходится навязывать закреплением степеней свободы, а данные Неймана входят напрямую как нагрузка.

Это промышленный FEM-код?

Нет. Это учебная модель на структурированной треугольной сетке с простой квадратурой и базовым CG-решателем. Реальные FEM-пакеты добавляют генерацию сеток, элементы высокого порядка, предобуславливание, оценку ошибки и сложные геометрии.

FEM-решатель Пуассона (2D)

Треугольные P1-элементы для -Δu=f на квадрате: сборка матриц жёсткости, закреплённые Dirichlet-узлы или естественный Neumann-поток, CG-решение и потенциал как цветная мембрана.

FEM Пуассон

Источник f(x,y)

Граничные условия

Разбиений на сторону18

Сила источника35

Neumann-поток g1.2

Масштаб высоты мембраны0.45

На каждом треугольнике используются линейные P1-базисные функции. Dirichlet-узлы закрепляются; Neumann-поток естественно добавляется в RHS по верхнему/нижнему краю в смешанном режиме.

Измеренные величины

узлов361

треугольников648

Dirichlet-узлов72

диапазон u0.000 … 0.390

CG итерации / residual39 / 5.8e-9

О модели

Эта страница — компактный конечно-элементный решатель уравнения Пуассона −Δu = f на единичном квадрате. Область разбивается на регулярную треугольную сетку, на каждом треугольнике используются линейные P1-базисные функции. Для элемента собирается локальная матрица жёсткости по градиентам базисов, Kᵉ_ij = (b_i b_j + c_i c_j)/(4A), затем она добавляется в разреженную глобальную систему. Источник интегрируется по центроиду. В режиме Dirichlet все граничные узлы закреплены как u=0, будто мембрана зажата по рамке. В смешанном режиме левая/правая стороны — Dirichlet, а верх/низ добавляют естественные Neumann-потоки в правую часть. Симметричная положительно определённая система решается сопряжёнными градиентами. Слева потенциал раскрашен по треугольникам, справа то же поле поднято как «деформируемая мембрана».

Для кого: Студенты численных PDE, FEM, электростатики и вычислительной механики, изучающие слабую форму, P1-треугольники и обработку граничных условий.

Ключевые понятия

Метод конечных элементов
Уравнение Пуассона
Треугольная сетка
P1-элемент
Слабая форма
Граница Дирихле
Граница Неймана
Сопряжённые градиенты

Как это работает

−Δu=f на квадрате: область разбита на P1-треугольники, локальные матрицы жёсткости собираются в глобальную систему. Dirichlet закрепляет узлы, Neumann добавляет поток в правую часть. Решение CG показано как цветной потенциал и как высота мембраны.

Основные формулы

Weak form: find u such that ∫Ω ∇u·∇v dΩ = ∫Ω f v dΩ + ∫Γ_N g v ds. P1 triangles give local stiffness K_ij^e = (b_i b_j + c_i c_j)/(4A); Dirichlet values are pinned.

Часто задаваемые вопросы

Что физически решается?: −Δu=f может описывать электростатический потенциал от плотности заряда, стационарную теплопроводность с источниками или прогиб мембраны под нагрузкой. Интерпретации разные, но эллиптический оператор и граничные условия те же.
Почему условия Неймана называют естественными в FEM?: После интегрирования по частям потоковые члены появляются в правой части как ∫Γ_N g v ds. Значения Дирихле приходится навязывать закреплением степеней свободы, а данные Неймана входят напрямую как нагрузка.
Это промышленный FEM-код?: Нет. Это учебная модель на структурированной треугольной сетке с простой квадратурой и базовым CG-решателем. Реальные FEM-пакеты добавляют генерацию сеток, элементы высокого порядка, предобуславливание, оценку ошибки и сложные геометрии.

Продолжите с близкими темами в этой категории — или все 85 в «Визуализация математики».

Вся категория →

НовоеУниверситет / научные

Уравнение теплопроводности: конечные разности

Запустить симулятор

1D u_t = αu_xx: явная FTCS и неявная схема Эйлера назад; меняйте CFL r = αΔt/Δx², наблюдайте взрыв явной схемы при r > 1/2 и сравнивайте численную диффузию.

НовоеУниверситет / научные