Эта страница — компактный конечно-элементный решатель уравнения Пуассона −Δu = f на единичном квадрате. Область разбивается на регулярную треугольную сетку, на каждом треугольнике используются линейные P1-базисные функции. Для элемента собирается локальная матрица жёсткости по градиентам базисов, Kᵉ_ij = (b_i b_j + c_i c_j)/(4A), затем она добавляется в разреженную глобальную систему. Источник интегрируется по центроиду. В режиме Dirichlet все граничные узлы закреплены как u=0, будто мембрана зажата по рамке. В смешанном режиме левая/правая стороны — Dirichlet, а верх/низ добавляют естественные Neumann-потоки в правую часть. Симметричная положительно определённая система решается сопряжёнными градиентами. Слева потенциал раскрашен по треугольникам, справа то же поле поднято как «деформируемая мембрана».
Для кого: Студенты численных PDE, FEM, электростатики и вычислительной механики, изучающие слабую форму, P1-треугольники и обработку граничных условий.
Ключевые понятия
Метод конечных элементов
Уравнение Пуассона
Треугольная сетка
P1-элемент
Слабая форма
Граница Дирихле
Граница Неймана
Сопряжённые градиенты
Как это работает
−Δu=f на квадрате: область разбита на P1-треугольники, локальные матрицы жёсткости собираются в глобальную систему. Dirichlet закрепляет узлы, Neumann добавляет поток в правую часть. Решение CG показано как цветной потенциал и как высота мембраны.
Основные формулы
Weak form: find u such that ∫Ω ∇u·∇v dΩ = ∫Ω f v dΩ + ∫Γ_N g v ds. P1 triangles give local stiffness K_ij^e = (b_i b_j + c_i c_j)/(4A); Dirichlet values are pinned.
Часто задаваемые вопросы
Что физически решается?
−Δu=f может описывать электростатический потенциал от плотности заряда, стационарную теплопроводность с источниками или прогиб мембраны под нагрузкой. Интерпретации разные, но эллиптический оператор и граничные условия те же.
Почему условия Неймана называют естественными в FEM?
После интегрирования по частям потоковые члены появляются в правой части как ∫Γ_N g v ds. Значения Дирихле приходится навязывать закреплением степеней свободы, а данные Неймана входят напрямую как нагрузка.
Это промышленный FEM-код?
Нет. Это учебная модель на структурированной треугольной сетке с простой квадратурой и базовым CG-решателем. Реальные FEM-пакеты добавляют генерацию сеток, элементы высокого порядка, предобуславливание, оценку ошибки и сложные геометрии.