PhysSandbox

Электрическое поле: точечные заряды, силовые линии и суперпозиция

Пошаговый урок на 45 минут: ученики измеряют, как поле точечного заряда убывает с расстоянием, видят, что поля складываются как векторы (и могут компенсироваться там, где потенциал не равен нулю), читают картину силовых линий диполя и собирают почти однородное поле между двумя заряженными пластинами.

Уровень: 10–12 классы · AP Physics 2 · IB Physics HL45 минСимулятор урока: Электрическое поле и силовые линии

Цели урока

  • Формулировать, что поле точечного заряда убывает как 1/r^2, а потенциал — как 1/r, и проверять оба соотношения измерениями.
  • Применять принцип суперпозиции: поле нескольких зарядов равно векторной сумме полей каждого из них.
  • Читать картину силовых линий: направление поля, относительную величину по густоте линий и точку, где поле равно нулю.
  • Различать напряжённость электрического поля (вектор) и электрический потенциал (скаляр) в одной и той же точке.

Что ученики уже должны знать

  • Закон Кулона для силы между двумя точечными зарядами.
  • Сложение векторов по проекциям.

Программа

  • NGSS HS-PS2-4
  • NGSS HS-PS3-5
  • AP Physics 2 · Unit 1 (Electric Charges, Fields and Potential)
  • IB Physics · Topic D.2
  • ФГОС · Физика 9–10 класс
Разминка

1.Поле, которого не видно

~5 мин

В пространстве один положительный заряд. Представьте, что в разные точки вокруг него помещают крошечный положительный пробный заряд. Прежде чем открывать симулятор, предскажите:

В симуляторе стрелки показывают направление и относительную величину поля vec E, золотые линии — это силовые линии, пунктирные кривые — контуры эквипотенциалей, а жёлтая точка — перетаскиваемый пробник, который показывает |E| и V там, где стоит. Единицы условные, поэтому смотрите на отношения, а не на абсолютные числа.

Исследование 1

2.Как быстро убывает поле?

~10 мин

В центре один положительный заряд (q = 2). Пробник стоит на 0.20 единицы справа от него.

Задание

  1. Запишите |E| у пробника и V у пробника при начальном расстоянии r = 0.20.
  2. Перетащите пробник строго вправо так, чтобы он оказался вдвое дальше (r ≈ 0.40 — поможет сетка; |E| и V составят примерно четверть и половину начальных значений). Снова запишите |E| и V.
  3. Перетащите его на половину начального расстояния (r ≈ 0.10). Что стало с |E|? С V?
  4. Допишите: когда r удваивается, |E| умножается на ___, а V — на ___.

При r = 0.20 должно получиться |E| ≈ 50 и V ≈ 10; при r = 0.40 — |E| ≈ 12.5 и V ≈ 5; при r = 0.10 — |E| ≈ 200 и V ≈ 20. Удвоение расстояния уменьшает поле в четыре раза, а потенциал — в два: поле следует закону обратных квадратов, потенциал — закону обратной пропорциональности.

Поле точечного заряда

( E = dfrack qr^2, направлено от положительного заряда, к отрицательному\)

Потенциал точечного заряда

( V = dfrack qr (скаляр; ноль на бесконечности)\)

Сила, действующая на пробный заряд

( vec F = q_0 vec E\)

Исследование 2

3.Суперпозиция: поля складываются и могут компенсироваться

~12 мин

Теперь два одинаковых положительных заряда (каждый q = 2) стоят при x = −0.20 и x = +0.20. Пробник вначале точно посередине.

Задание

  1. Считайте |E| у пробника и V у пробника в средней точке. Какая из величин равна нулю? Объясните по стрелкам: как выглядит поле каждого заряда в этой точке?
  2. Сдвиньте пробник чуть вверх от середины (до y ≈ 0.2). Поле уже не нулевое — куда оно направлено? Почему проекция на ось x по-прежнему компенсируется?
  3. Посмотрите на силовые линии между зарядами. Почему через середину не проходит ни одна линия и почему линии там словно «отталкиваются» друг от друга?
  4. Перетащите один заряд ближе к пробнику. Точка нулевого поля смещается в сторону большего промежутка или меньшего?

В средней точке два поля равны по модулю и противоположны по направлению, поэтому vec E = 0 — но оба потенциала положительны и складываются: V ≈ 20. В этом главное различие двух величин: E — вектор (вклады могут компенсироваться), V — скаляр (вклады одноимённых зарядов только накапливаются). Выше середины горизонтальные проекции по симметрии по-прежнему компенсируются, а обе вертикальные направлены вверх, поэтому vec E смотрит строго вверх (|E| ≈ 35 при y = 0.2).

Суперпозиция (поле)

( vec E = vec E_1 + vec E_2 + dots = sum_i dfrack q_ir_i^2\,hat r_i\)

Суперпозиция (потенциал)

( V = V_1 + V_2 + dots = sum_i dfrack q_ir_i\)

Исследование 3

4.Диполь

~8 мин

Замените правый заряд отрицательным той же величины: +2.5 при x = −0.18 и −2.5 при x = +0.18. Такая пара — электрический диполь: картина поля молекулы воды или поляризованной антенны.

Задание

  1. В средней точке считайте |E| и V. Сравните со случаем двух положительных зарядов: какая величина теперь равна нулю, а какая велика? Объясните по стрелкам.
  2. Проведите пальцем вдоль силовой линии: где она начинается и где заканчивается? Пересекаются ли линии?
  3. Перетащите пробник вдоль вертикали x = 0 (серединный перпендикуляр). Чему равен V всюду на этой прямой? Чем эта прямая является?
  4. Посмотрите на пунктирные контуры эквипотенциалей: где они ближе всего друг к другу и как это связано с длиной стрелок?

В середине диполя оба поля направлены в одну сторону (от + к −), поэтому |E| ≈ 154 велико, а потенциалы +kq/r и −kq/r компенсируются: V = 0. Весь серединный перпендикуляр — эквипотенциаль V = 0. Силовые линии начинаются на положительном заряде, заканчиваются на отрицательном, не пересекаются и гуще всего — а эквипотенциали сближены сильнее всего — там, где поле максимально: у зарядов и в зазоре между ними.

Исследование 4

5.Собираем однородное поле

~5 мин

Семь положительных зарядов вертикальным рядом слева и семь отрицательных справа изображают пару заряженных параллельных пластин — геометрию конденсатора.

Задание

  1. Поводите пробником в средней области между пластинами. Насколько меняется |E|? Куда направлены стрелки?
  2. Переместите пробник к краю пластин, а затем за их пределы. Где представление об «однородном поле» перестаёт работать?
  3. Контуры эквипотенциалей между пластинами идут через равные промежутки? Что это говорит о том, как V меняется с x?

Между пластинами стрелки почти параллельны и одинаковы по длине, а эквипотенциали — вертикальные линии через равные промежутки: E приближённо однородно, а V меняется с координатой линейно, E = Δ V / d. У краёв линии выгибаются наружу (*краевое поле*), и приближение перестаёт работать.

Разобранный пример

6.Поле на оси двух зарядов

~5 мин

Где поле равно нулю?

Заряд +4 μC находится при x = 0, заряд +1 μC — при x = 0.30 m. Найдите на прямой между ними точку, где электрическое поле равно нулю. (k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².)

  1. Между двумя положительными зарядами поля направлены в противоположные стороны, поэтому могут компенсировать друг друга. Пусть точка удалена на x от заряда 4 μC и, значит, на 0.30 - x от заряда 1 μC.
  2. Приравняйте модули: dfrack · 4x^2 = dfrack · 1(0.30 - x)^2. Постоянная k сокращается — единицы заряда тоже, если у обоих зарядов они одни и те же.
  3. Извлеките квадратные корни: dfrac2x = dfrac10.30 - x Rightarrow 2(0.30 - x) = x Rightarrow x = 0.20\ textm.
  4. Проверка: нуль ближе к меньшему заряду (0.10 m от него и 0.20 m от большего), как и ожидалось — слабому заряду нужно меньшее расстояние, чтобы уравновесить сильный.

x = 0.20 m от заряда 4 μC (0.10 m от заряда 1 μC). В симуляторе поставьте q = 4 при x = −0.15 и q = 1 при x = +0.15 и тащите пробник, пока |E| у пробника не станет наименьшим — это должно быть около x ≈ 0.05.

Quiz

7.Проверьте себя

Ответьте на вопрос и нажмите «Проверить». Числовые ответы, снятые с симулятора, принимаются с указанной погрешностью.

1.Вы увеличили расстояние до точечного заряда втрое. Напряжённость электрического поля становится…

2.На расстоянии 0.20 m от точечного заряда поле равно 50 N/C. Какое поле на расстоянии 0.50 m?

N/Cдопуск ±3 %

3.В средней точке между двумя одинаковыми положительными зарядами…

4.В середине диполя (+q и −q)…

5.Какие утверждения о силовых линиях электрического поля верны? (Отметьте все подходящие.)

6.Заряды +9 μC (при x = 0) и +1 μC (при x = 0.40 m) лежат на одной прямой. При каком x (в m) между ними поле равно нулю?

mдопуск ±3 %

8.Домашнее задание

  1. Поставьте q = +4 при x = −0.15 и q = +1 при x = +0.15. Найдите положение нулевого поля, перетаскивая пробник, затем сверьте его с формулой из разобранного примера. Как далеко оно от каждого заряда? Открыть симулятор с этими настройками ↗
  2. Квадруполь: +2 в (−0.2, 0), +2 в (0.2, 0), −2 в (0, −0.2), −2 в (0, 0.2). Сначала набросайте картину силовых линий, затем сравните с симулятором. Где E равно нулю? Чему там равен V? Открыть симулятор с этими настройками ↗
  3. В пресете Пара пластин выберите средний заряд одной пластины и удалите его кнопкой Удалить выбранный. Опишите, что происходит с однородным полем. Затем объясните, почему в настоящих конденсаторах пластины сплошные металлические, а не ряды точечных зарядов. Открыть симулятор с этими настройками ↗

Учителю

  • Темп: разминка 5 мин, исследование 1 — 10 мин, исследование 2 — 12 мин, исследование 3 — 8 мин, исследование 4 — 5 мин, разобранный пример и тест — 5 мин. Исследование 4 можно пропустить, если класс ещё не изучал конденсаторы.
  • Поле и потенциал даны в условных единицах (k = 1, заряд и расстояние — в единицах симулятора). Все задания построены на отношениях, а они от единиц не зависят. Если ученики спросят: 0.2 единицы симулятора можно читать как 0.2 m, а заряды — в единицах 1/k.
  • Пробник, поставленный от руки, не попадёт в точку точно; числа в тексте (50 / 12.5 / 200) относятся к ровно 0.20 / 0.40 / 0.10. Для вывода об отношениях хватает значений в пределах ~10 % — шаг сетки помогает выставить пробник.
  • Заблуждения, на которые рассчитан урок: (1) путают E и V — исследования 2 и 3 составлены парой (E = 0, V ≠ 0 и E ≠ 0, V = 0); (2) «силовые линии — это траектории зарядов» — линии задают направление силы, а не траекторию; это стоит проговорить вслух на исследовании 3; (3) «больше линий — больше заряда *здесь*» — густота линий показывает напряжённость в данной точке.
  • Дополнительно: попросите найти точку нулевого поля для двух разноимённых зарядов разной величины (она лежит вне отрезка, со стороны меньшего заряда).
  • Числовые ответы теста принимаются с допуском ±3 %.