PhysSandbox

Elektrisches Feld: Punktladungen, Feldlinien und Superposition

Eine 45-minütige geführte Unterrichtsstunde: Die Lernenden messen, wie das Feld einer Punktladung mit dem Abstand abfällt, sehen, dass Felder sich als Vektoren addieren (und sich dort aufheben können, wo das Potential das nicht tut), lesen das Feldlinienbild eines Dipols und bauen ein nahezu homogenes Feld zwischen zwei geladenen Platten auf.

Stufe: Klassen 10–12 · AP Physics 2 · IB Physics HL45 Min.Simulator der Stunde: Elektrisches Feld

Lernziele

  • Angeben, dass das Feld einer Punktladung wie 1/r^2 und das Potential wie 1/r abfällt, und beides mit Messungen prüfen.
  • Das Superpositionsprinzip anwenden: Das Feld mehrerer Ladungen ist die Vektorsumme ihrer Einzelfelder.
  • Ein Feldlinienbild lesen: Richtung des Feldes, relative Stärke aus der Liniendichte und die Stelle, an der das Feld null ist.
  • Das elektrische Feld (einen Vektor) vom elektrischen Potential (einem Skalar) in einem Punkt unterscheiden.

Voraussetzungen

  • Das Coulombsche Gesetz für die Kraft zwischen zwei Punktladungen.
  • Vektoren über ihre Komponenten addieren.

Lehrplanbezug

  • NGSS HS-PS2-4
  • NGSS HS-PS3-5
  • AP Physics 2 · Unit 1 (Electric Charges, Fields and Potential)
  • IB Physics · Topic D.2
  • KMK Bildungsstandards Physik
Aufwärmen

1.Ein Feld, das man nicht sieht

~5 Min.

Eine einzelne positive Ladung steht allein im Raum. Stellen Sie sich vor, Sie setzen eine winzige positive Probeladung an verschiedene Punkte um sie herum. Sagen Sie voraus, bevor Sie den Simulator benutzen:

Im Simulator zeigen Pfeile Richtung und relative Stärke des Feldes vec E, goldene Linien sind Feldlinien, gestrichelte Kurven sind Äquipotentiallinien, und der gelbe Punkt ist eine verschiebbare Probeladung — auf der Fläche steht Probeladung +q (ziehen). Abgelesen werden |E| und V an ihrem Ort (|E| an der Probeladung, V an der Probeladung). Die Einheiten sind willkürlich, achten Sie deshalb auf Verhältnisse, nicht auf absolute Zahlen.

Erkundung 1

2.Wie stark fällt das Feld mit dem Abstand ab?

~10 Min.

Eine positive Ladung (q = 2) sitzt im Zentrum. Die Probeladung liegt 0.20 Einheiten rechts davon.

Deine Aufgabe

  1. Notieren Sie |E| an der Probeladung und V an der Probeladung für den Startabstand r = 0.20.
  2. Ziehen Sie die Probeladung gerade nach rechts, bis sie doppelt so weit entfernt ist (r ≈ 0.40 — ablesen am Regler Probeladung x; die Anzeigen liegen bei etwa einem Viertel und der Hälfte der Startwerte). Notieren Sie |E| und V erneut.
  3. Ziehen Sie sie auf die Hälfte des Startabstands (r ≈ 0.10). Was ist mit |E| geschehen? Und mit V?
  4. Ergänzen Sie: Wenn sich r verdoppelt, wird |E| mit ___ multipliziert und V mit ___.

Bei r = 0.20 sollten Sie |E| ≈ 50 und V ≈ 10 ablesen; bei r = 0.40 |E| ≈ 12.5 und V ≈ 5; bei r = 0.10 |E| ≈ 200 und V ≈ 20. Verdoppelt man den Abstand, wird das Feld durch vier geteilt und das Potential durch zwei: Das Feld folgt einem umgekehrt quadratischen Gesetz, das Potential einem umgekehrt proportionalen Gesetz.

Feld einer Punktladung

( E = dfrack qr^2, zeigt von einer positiven Ladung weg, zu einer negativen hin\)

Potential einer Punktladung

( V = dfrack qr (ein Skalar; null im Unendlichen)\)

Kraft auf eine Probeladung

( vec F = q_0 vec E\)

Erkundung 2

3.Superposition: Felder addieren sich und können sich aufheben

~12 Min.

Jetzt stehen zwei gleich große positive Ladungen (jeweils q = 2) bei x = −0.20 und x = +0.20. Die Probeladung startet genau in der Mitte.

Deine Aufgabe

  1. Lesen Sie |E| an der Probeladung und V an der Probeladung in der Mitte ab. Welche der beiden Größen ist null? Erklären Sie es mit den Pfeilen: Wie sieht das Feld jeder Ladung an diesem Punkt aus?
  2. Ziehen Sie die Probeladung etwas aus der Mitte nach oben (auf y ≈ 0.2). Das Feld ist nicht mehr null — in welche Richtung zeigt es? Warum hebt sich die x-Komponente weiterhin auf?
  3. Betrachten Sie die Feldlinien zwischen den Ladungen. Warum verläuft keine Linie durch die Mitte, und warum scheinen sich die Linien dort gegenseitig „abzustoßen“?
  4. Ziehen Sie eine Ladung so, dass sie näher an der Probeladung liegt. Wandert der Punkt mit Feld null zur größeren oder zur kleineren Lücke?

In der Mitte sind die beiden Felder gleich groß und entgegengesetzt gerichtet, also ist vec E = 0 — die Potentiale sind aber beide positiv und addieren sich: V ≈ 20. Darin liegt der entscheidende Unterschied: E ist ein Vektor (Beiträge können sich aufheben), V ist ein Skalar (Beiträge gleichnamiger Ladungen summieren sich nur). Oberhalb der Mitte heben sich die horizontalen Komponenten aus Symmetrie weiterhin auf, beide vertikalen Komponenten zeigen aber nach oben, deshalb zeigt vec E senkrecht nach oben (|E| ≈ 35 bei y = 0.2).

Superposition (Feld)

( vec E = vec E_1 + vec E_2 + dots = sum_i dfrack q_ir_i^2\,hat r_i\)

Superposition (Potential)

( V = V_1 + V_2 + dots = sum_i dfrack q_ir_i\)

Erkundung 3

4.Der Dipol

~8 Min.

Ersetzen Sie die rechte Ladung durch eine negative derselben Größe: +2.5 bei x = −0.18 und −2.5 bei x = +0.18. Dieses Paar ist ein elektrischer Dipol — das Feldmuster eines Wassermoleküls oder einer polarisierten Antenne.

Deine Aufgabe

  1. Lesen Sie in der Mitte |E| und V ab. Vergleichen Sie mit dem Fall zweier positiver Ladungen: Welche Größe ist jetzt null, welche ist groß? Erklären Sie es mit den Pfeilen.
  2. Folgen Sie einer Feldlinie mit dem Finger: Wo beginnt sie und wo endet sie? Kreuzen sich Linien?
  3. Ziehen Sie die Probeladung längs der Senkrechten x = 0 (der Mittelsenkrechten). Welchen Wert hat V überall auf dieser Linie? Was ist die Linie damit?
  4. Betrachten Sie die gestrichelten Äquipotentiallinien: Wo liegen sie am dichtesten, und wie hängt das mit der Länge der Pfeile zusammen?

In der Mitte des Dipols zeigen beide Felder in dieselbe Richtung (von + nach −), deshalb ist |E| ≈ 154 groß, während sich die Potentiale +kq/r und −kq/r aufheben: V = 0. Die gesamte Mittelsenkrechte ist die Äquipotentiallinie V = 0. Feldlinien beginnen an der positiven Ladung, enden an der negativen, kreuzen sich nie und liegen am dichtesten — die Äquipotentiallinien am engsten — dort, wo das Feld am stärksten ist: nahe den Ladungen und im Spalt dazwischen.

Erkundung 4

5.Ein homogenes Feld aufbauen

~5 Min.

Sieben positive Ladungen in einer senkrechten Reihe links und sieben negative rechts stellen ein Paar geladener paralleler Platten dar — die Geometrie eines Kondensators (Vorlage Plattenpaar).

Deine Aufgabe

  1. Bewegen Sie die Probeladung im mittleren Bereich zwischen den Platten. Wie stark ändert sich |E|? In welche Richtung zeigen die Pfeile?
  2. Bewegen Sie die Probeladung an den Rand der Platten und dann nach außen. Wo bricht die Vorstellung eines „homogenen Feldes“ zusammen?
  3. Äquipotentiallinien zwischen den Platten: Liegen sie in gleichen Abständen? Was sagt das darüber, wie sich V mit x ändert?

Zwischen den Platten sind die Pfeile nahezu parallel und gleich lang, und die Äquipotentiallinien sind senkrechte Linien in gleichen Abständen: E ist näherungsweise homogen, und V ändert sich linear mit dem Ort, E = Δ V / d. Nahe den Rändern bauchen die Linien nach außen (das *Randfeld*), und die Näherung gilt nicht mehr.

Rechenbeispiel

6.Das Feld auf der Achse zweier Ladungen

~5 Min.

Wo ist das Feld null?

Eine Ladung +4 μC steht bei x = 0, eine Ladung +1 μC bei x = 0.30 m. Bestimmen Sie den Punkt auf der Strecke dazwischen, an dem das elektrische Feld null ist. (k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².)

  1. Zwischen zwei positiven Ladungen zeigen die Felder in entgegengesetzte Richtungen, sie können sich also aufheben. Der gesuchte Punkt liege im Abstand x von der Ladung 4 μC, also 0.30 - x von der Ladung 1 μC.
  2. Setzen Sie die Beträge gleich: dfrack · 4x^2 = dfrack · 1(0.30 - x)^2. Die Konstante k kürzt sich — die Einheiten der Ladung ebenfalls, solange beide gleich sind.
  3. Wurzel ziehen: dfrac2x = dfrac10.30 - x Rightarrow 2(0.30 - x) = x Rightarrow x = 0.20\ textm.
  4. Kontrolle: Der Nullpunkt liegt näher an der kleineren Ladung (0.10 m von ihr, 0.20 m von der größeren), wie erwartet — die schwächere Ladung braucht den kürzeren Abstand, um die stärkere auszugleichen.

x = 0.20 m von der Ladung 4 μC (0.10 m von der Ladung 1 μC). Setzen Sie im Simulator q = 4 bei x = −0.15 und q = 1 bei x = +0.15 und ziehen Sie die Probeladung, bis |E| minimal ist — das sollte bei x ≈ 0.05 liegen.

Quiz

7.Überprüfe dein Wissen

Beantworte jede Frage und klicke auf „Prüfen“. Zahlenwerte, die du im Simulator abliest, werden mit der angegebenen Toleranz akzeptiert.

1.Man verdreifacht den Abstand zu einer Punktladung. Die elektrische Feldstärke wird …

2.In 0.20 m Abstand von einer Punktladung beträgt das Feld 50 N/C. Wie groß ist das Feld bei 0.50 m?

N/CToleranz ±3 %

3.In der Mitte zwischen zwei gleich großen positiven Ladungen …

4.In der Mitte eines Dipols (+q und −q) …

5.Welche Aussagen über elektrische Feldlinien stimmen? (Wählen Sie alle zutreffenden Antworten.)

6.Ladungen von +9 μC (bei x = 0) und +1 μC (bei x = 0.40 m) liegen auf einer Geraden. Bei welchem x (in m) zwischen ihnen ist das Feld null?

mToleranz ±3 %

8.Hausaufgaben

  1. Setzen Sie q = +4 bei x = −0.15 und q = +1 bei x = +0.15. Suchen Sie die Stelle mit Feld null, indem Sie die Probeladung ziehen, und prüfen Sie sie an der Formel aus dem Rechenbeispiel. Wie weit liegt diese Stelle von jeder Ladung entfernt? Simulator mit diesen Einstellungen öffnen ↗
  2. Ein Quadrupol: +2 bei (−0.2, 0), +2 bei (0.2, 0), −2 bei (0, −0.2) und −2 bei (0, 0.2). Skizzieren Sie zuerst den Verlauf der Feldlinien und vergleichen Sie ihn dann mit dem Simulator. Wo ist E null? Welchen Wert hat V dort? Simulator mit diesen Einstellungen öffnen ↗
  3. Wählen Sie in der Vorlage Plattenpaar die mittlere Ladung einer Platte aus und löschen Sie sie mit Auswahl löschen. Beschreiben Sie, was mit dem homogenen Feld geschieht. Erklären Sie dann, warum reale Kondensatoren zusammenhängende Metallplatten verwenden statt einer Reihe von Punktladungen. Simulator mit diesen Einstellungen öffnen ↗

Hinweise für Lehrkräfte

  • Zeitplan: Aufwärmen 5 min, Erkundung 1 10 min, Erkundung 2 12 min, Erkundung 3 8 min, Erkundung 4 5 min, Rechenbeispiel und Quiz 5 min. Erkundung 4 kann entfallen, wenn die Klasse Kondensatoren noch nicht behandelt hat.
  • Feld und Potential sind in willkürlichen Einheiten angegeben (k = 1, Ladung und Abstand in Einheiten des Simulators). Jede Aufgabe arbeitet mit Verhältnissen, und die hängen nicht von der Einheit ab. Auf Nachfrage: 0.2 Simulatoreinheiten lassen sich als 0.2 m lesen, die Ladungen in Einheiten von 1/k.
  • Von Hand gesetzte Positionen der Probeladung treffen den Wert nicht exakt; die Anzeigen im Text (50 / 12.5 / 200) gelten für genau 0.20 / 0.40 / 0.10. Für das Verhältnisargument reichen Werte innerhalb von ~10 %. Der Regler Probeladung x hilft beim Platzieren.
  • Angesprochene Fehlvorstellungen: (1) E und V werden verwechselt — Erkundung 2 und 3 sind als Paar angelegt (E = 0, V ≠ 0 gegenüber E ≠ 0, V = 0); (2) „Feldlinien sind Bahnen von Ladungen“ — Feldlinien geben die Richtung der Kraft an, nicht die Bahn; das sollte man bei Erkundung 3 laut sagen; (3) „mehr Linien bedeuten mehr Ladung *dort*“ — die Liniendichte gibt die Feldstärke an diesem Punkt an.
  • Erweiterung: Die Lernenden suchen den Nullpunkt des Feldes für zwei Ladungen mit entgegengesetztem Vorzeichen und ungleichem Betrag (er liegt außerhalb des Paares, auf der Seite der kleineren Ladung).
  • Zahlenantworten im Quiz werden mit ±3 % akzeptiert.