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Champ électrique : charges ponctuelles, lignes de champ et superposition

Une leçon guidée de 45 minutes : les élèves mesurent comment le champ d’une charge ponctuelle décroît avec la distance, constatent que les champs s’ajoutent comme des vecteurs (et peuvent s’annuler là où le potentiel ne s’annule pas), lisent le diagramme des lignes de champ d’un dipôle et construisent un champ presque uniforme entre deux plaques chargées.

Niveau: Seconde à Terminale · AP Physics 2 · IB Physics HL45 minSimulateur de la leçon: Champ électrique et lignes de champ

Objectifs d’apprentissage

  • Énoncer que le champ d’une charge ponctuelle décroît en 1/r^2 et le potentiel en 1/r, et vérifier les deux par des mesures.
  • Appliquer le principe de superposition : le champ de plusieurs charges est la somme vectorielle de leurs champs individuels.
  • Lire un diagramme de lignes de champ : sens du champ, intensité relative d’après la densité des lignes, et endroit où le champ est nul.
  • Distinguer, en un point, le champ électrique (un vecteur) du potentiel électrique (un scalaire).

Prérequis

  • La loi de Coulomb pour la force entre deux charges ponctuelles.
  • L’addition des vecteurs par composantes.

Programme

  • NGSS HS-PS2-4
  • NGSS HS-PS3-5
  • AP Physics 2 · Unit 1 (Electric Charges, Fields and Potential)
  • IB Physics · Topic D.2
  • Programme de physique-chimie · Seconde/Première
Échauffement

1.Un champ que l’on ne voit pas

~5 min

Une seule charge positive est isolée dans l’espace. Imaginez de placer une petite charge d’essai positive en différents points autour d’elle. Avant d’utiliser le simulateur, prévoyez :

Dans le simulateur, les flèches indiquent le sens et l’intensité relative du champ vec E, les lignes dorées sont des lignes de champ, les courbes en pointillés sont des contours d’équipotentielles et le point jaune est une sonde que l’on peut faire glisser : elle affiche |E| et V à l’endroit où elle se trouve. Les unités sont arbitraires : regardez les rapports, pas les valeurs absolues.

Exploration 1

2.Comment le champ décroît-il ?

~10 min

Une charge positive (q = 2) est au centre. La sonde est placée à 0.20 unité sur sa droite.

Votre tâche

  1. Relevez |E| à la sonde et V à la sonde pour la distance de départ r = 0.20.
  2. Faites glisser la sonde tout droit vers la droite pour la placer deux fois plus loin (r ≈ 0.40 — la grille aide ; |E| à la sonde vaudra environ le quart, et V à la sonde environ la moitié, des valeurs de départ). Relevez de nouveau |E| et V.
  3. Amenez-la à la moitié de la distance de départ (r ≈ 0.10). Qu’est-il arrivé à |E| ? Et à V ?
  4. Complétez : lorsque r double, |E| est multiplié par ___ et V est multiplié par ___.

Pour r = 0.20, vous devez lire |E| ≈ 50 et V ≈ 10 ; pour r = 0.40, |E| ≈ 12.5 et V ≈ 5 ; pour r = 0.10, |E| ≈ 200 et V ≈ 20. Doubler la distance divise le champ par quatre et le potentiel par deux : le champ suit une loi en inverse du carré, le potentiel une loi en inverse de la distance.

Champ d’une charge ponctuelle

( E = dfrack qr^2, dirigé en s’éloignant d’une charge positive, vers une charge négative\)

Potentiel d’une charge ponctuelle

( V = dfrack qr (scalaire ; nul à l’infini)\)

Force sur une charge d’essai

( vec F = q_0 vec E\)

Exploration 2

3.Superposition : les champs s’ajoutent, et peuvent s’annuler

~12 min

Deux charges positives égales (q = 2 chacune) sont maintenant en x = −0.20 et en x = +0.20. La sonde part exactement du milieu.

Votre tâche

  1. Lisez |E| à la sonde et V à la sonde au milieu. Laquelle de ces deux valeurs est nulle ? Expliquez avec les flèches : à quoi ressemble, en ce point, le champ de chaque charge ?
  2. Faites glisser la sonde un peu au-dessus du milieu (vers y ≈ 0.2). Le champ n’est plus nul — dans quel sens pointe-t-il ? Pourquoi la composante x s’annule-t-elle encore ?
  3. Regardez les lignes de champ entre les charges. Pourquoi aucune ligne ne passe-t-elle par le milieu, et pourquoi les lignes semblent-elles se « repousser » à cet endroit ?
  4. Faites glisser une charge pour la rapprocher de la sonde. Le point de champ nul se déplace-t-il vers le plus grand intervalle ou vers le plus petit ?

Au milieu, les deux champs ont le même module et des sens opposés, donc vec E = 0 — mais les potentiels sont tous deux positifs et s’ajoutent : V ≈ 20. C’est la différence essentielle entre les deux grandeurs : E est un vecteur (les contributions peuvent s’annuler), V est un scalaire (les contributions de charges de même signe ne font que s’accumuler). Au-dessus du milieu, les composantes horizontales s’annulent encore par symétrie, mais les deux composantes verticales pointent vers le haut, donc vec E est dirigé droit vers le haut (|E| ≈ 35 en y = 0.2).

Superposition (champ)

( vec E = vec E_1 + vec E_2 + dots = sum_i dfrack q_ir_i^2\,hat r_i\)

Superposition (potentiel)

( V = V_1 + V_2 + dots = sum_i dfrack q_ir_i\)

Exploration 3

4.Le dipôle

~8 min

Remplacez la charge de droite par une charge négative de même valeur : +2.5 en x = −0.18 et −2.5 en x = +0.18. Ce couple est un dipôle électrique — la configuration du champ d’une molécule d’eau ou d’une antenne polarisée.

Votre tâche

  1. Au milieu, lisez |E| à la sonde et V à la sonde. Comparez avec le cas des deux charges positives : quelle grandeur est maintenant nulle, et laquelle est grande ? Expliquez avec les flèches.
  2. Suivez une ligne de champ du doigt : où commence-t-elle et où finit-elle ? Des lignes se croisent-elles ?
  3. Faites glisser la sonde le long de la droite verticale x = 0 (la médiatrice). Que vaut V partout sur cette droite ? Qu’est-ce que cela fait de cette droite ?
  4. Observez les contours d’équipotentielles en pointillés : où sont-ils le plus resserrés, et comment cela se relie-t-il à la longueur des flèches ?

Au milieu du dipôle, les deux champs pointent dans le même sens (de + vers −), donc |E| ≈ 154 est grand, tandis que les potentiels +kq/r et −kq/r s’annulent : V = 0. Toute la médiatrice est l’équipotentielle V = 0. Les lignes de champ partent de la charge positive, aboutissent à la charge négative, ne se croisent jamais et sont les plus denses — équipotentielles les plus resserrées — là où le champ est le plus intense, près des charges et dans l’intervalle qui les sépare.

Exploration 4

5.Construire un champ uniforme

~5 min

Sept charges positives en colonne à gauche et sept charges négatives à droite imitent une paire de plaques parallèles chargées — la géométrie d’un condensateur.

Votre tâche

  1. Déplacez la sonde dans la région centrale, entre les plaques. De combien |E| varie-t-il ? Dans quel sens les flèches pointent-elles ?
  2. Amenez la sonde au bord des plaques, puis à l’extérieur. Où l’idée de « champ uniforme » cesse-t-elle d’être valable ?
  3. Contours d’équipotentielles entre les plaques : sont-ils régulièrement espacés ? Qu’est-ce que cela indique sur la façon dont V change avec x ?

Entre les plaques, les flèches sont presque parallèles et de même longueur, et les équipotentielles sont des droites verticales régulièrement espacées : E est à peu près uniforme et V varie linéairement avec la position, E = Δ V / d. Près des bords, les lignes s’écartent vers l’extérieur (l’*effet de bord*) et l’approximation ne tient plus.

Exemple résolu

6.Champ sur l’axe de deux charges

~5 min

Où le champ est-il nul ?

Une charge de +4 μC est en x = 0 et une charge de +1 μC est en x = 0.30 m. Trouvez le point de la droite, situé entre elles, où le champ électrique est nul. (k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².)

  1. Entre deux charges positives, les champs sont de sens opposés : ils peuvent donc s’annuler. Soit un point à la distance x de la charge de 4 μC, donc à 0.30 - x de la charge de 1 μC.
  2. Égalisez les modules : dfrack · 4x^2 = dfrack · 1(0.30 - x)^2. La constante k se simplifie — l’unité de charge aussi, pourvu que les deux charges soient exprimées dans la même unité.
  3. Prenez les racines carrées : dfrac2x = dfrac10.30 - x Rightarrow 2(0.30 - x) = x Rightarrow x = 0.20\ textm.
  4. Vérification : le point de champ nul est plus proche de la charge la plus petite (à 0.10 m d’elle, à 0.20 m de la plus grande), comme prévu — la charge la plus faible a besoin d’une distance plus courte pour égaler la plus forte.

x = 0.20 m depuis la charge de 4 μC (0.10 m depuis la charge de 1 μC). Dans le simulateur, placez q = 4 en x = −0.15 et q = 1 en x = +0.15, puis faites glisser la sonde jusqu’à ce que |E| à la sonde soit minimal — elle doit se trouver vers x ≈ 0.05.

Quiz

7.Vérifiez vos acquis

Répondez à chaque question puis cliquez sur « Vérifier ». Les réponses numériques relevées dans le simulateur sont acceptées avec la tolérance indiquée.

1.Vous triplez votre distance à une charge ponctuelle. L’intensité du champ électrique devient…

2.À 0.20 m d’une charge ponctuelle, le champ vaut 50 N/C. Quel est le champ à 0.50 m ?

N/Ctolérance ±3 %

3.Au point milieu entre deux charges positives égales…

4.Au milieu d’un dipôle (+q et −q)…

5.Quelles affirmations sur les lignes de champ électrique sont correctes ? (Sélectionnez toutes les réponses qui conviennent.)

6.Des charges de +9 μC (en x = 0) et de +1 μC (en x = 0.40 m) sont alignées. Pour quel x (en m), entre elles, le champ est-il nul ?

mtolérance ±3 %

8.Devoirs

  1. Placez q = +4 en x = −0.15 et q = +1 en x = +0.15. Trouvez l’endroit où le champ est nul en faisant glisser la sonde, puis comparez-le à la formule de l’exemple résolu. À quelle distance de chaque charge se trouve ce point ? Ouvrir le simulateur avec ces réglages ↗
  2. Un quadrupôle : +2 en (−0.2, 0), +2 en (0.2, 0), −2 en (0, −0.2), −2 en (0, 0.2). Esquissez d’abord l’allure des lignes de champ, puis comparez avec le simulateur. Où E est-il nul ? Que vaut V en ce point ? Ouvrir le simulateur avec ces réglages ↗
  3. Avec le réglage Paire de plaques, sélectionnez la charge centrale d’une plaque et cliquez sur Supprimer la sélection. Décrivez ce qui arrive au champ uniforme. Expliquez ensuite pourquoi un vrai condensateur utilise des plaques métalliques continues plutôt que des rangées de charges ponctuelles. Ouvrir le simulateur avec ces réglages ↗

Notes pour l’enseignant

  • Rythme : échauffement 5 min, exploration 1 10 min, exploration 2 12 min, exploration 3 8 min, exploration 4 5 min, exemple résolu et quiz 5 min. L’exploration 4 peut être omise si la classe n’a pas encore étudié les condensateurs.
  • Le champ et le potentiel sont en unités arbitraires (k = 1, charge et distance en unités du simulateur). Chaque tâche est construite sur des rapports, qui ne dépendent pas des unités. Si les élèves le demandent, 0.2 unité du simulateur peut se lire comme 0.2 m, avec des charges en unités de 1/k.
  • Les positions de la sonde, choisies à la main, ne seront pas exactes ; les valeurs du texte (50 / 12.5 / 200) valent pour 0.20 / 0.40 / 0.10 exactement. Un écart d’environ 10 % suffit pour l’argument sur les rapports — le pas de la grille aide les élèves à placer la sonde.
  • Conceptions erronées visées : (1) E et V confondus — les explorations 2 et 3 forment une paire assortie (E = 0, V ≠ 0 contre E ≠ 0, V = 0) ; (2) « les lignes de champ sont les trajectoires des charges » — les lignes de champ donnent le sens de la force, pas la trajectoire, ce qu’il vaut la peine de dire à voix haute à l’exploration 3 ; (3) « plus de lignes signifie plus de charge *ici* » — la densité des lignes indique l’intensité du champ en ce point.
  • Prolongement : demander aux élèves de trouver le point de champ nul pour deux charges de signes opposés et de valeurs inégales (il se situe à l’extérieur du couple, du côté de la charge la plus petite).
  • Les réponses numériques du quiz acceptent ±3 %.