Warum schließt sich die Ellipse nicht?

Der Term 3u² in der Bahngleichung ist eine ART-Korrektur, die das newtonsche 1/r-Potential nicht hat. Er verschiebt das Perizentrum in jeder Radialperiode, die Ellipsenspitze dreht sich und zeichnet eine Rosette. Das ist Krümmung der Raumzeit, nicht eine „zusätzliche“ Kraft ∝ 1/r³ im flachen Raum — obwohl die Schreibweise in u(φ) ähnlich aussieht.

Wie hängt das mit den 43″ pro Jahrhundert beim Merkur zusammen?

Im schwachen Feld gilt Δφ ≈ 6πM/[a(1−e²)] pro Umlauf; über ein Jahrhundert für a und e des Merkur ergibt das etwa 43 Winkelsekunden nach Abzug der newtonschen Störungen. Hier ist die Starkfeld-Version desselben Mechanismus in geometrischen Einheiten.

Was markieren r = 2M und r = 6M?

r = 2M ist der Schwarzschild-Ereignishorizont; stabile zeitartige Kreisbahnen gibt es bis zum Horizont nicht. Die innerste stabile Kreisbahn eines nicht rotierenden schwarzen Lochs liegt bei r = 6M; darunter sind Kreisbahnen instabil.

Periheldrehung im Schwarzschild-Feld

Geodäte in der Schwarzschild-Metrik: d²u/dφ² + u = 1/L² + 3u². Periheldrehung Δφ ≈ 6πM/[a(1−e²)] pro Umlauf — derselbe Effekt wie 43″/Jahrhundert beim Merkur.

Zum Modell

Die Periheldrehung im Schwarzschild-Feld: ein Probeteilchen folgt einer Geodäte in der Schwarzschild-Metrik. Die Bahngleichung in φ-Form d²u/dφ² + u = 1/L² + 3u² (G = c = M = 1, u = 1/r) wird mit Runge–Kutta 4. Ordnung integriert. Die newtonsche geschlossene Ellipse wird zur präzedierenden Rosette; die Periheldrehung pro Umlauf Δφ ≈ 6πM/[a(1−e²)] ist derselbe ART-Effekt, der beim Merkur 43″ pro Jahrhundert liefert. Markiert sind der Horizont r = 2M und die innerste stabile Bahn r = 6M. Annahmen: geodätische Bewegung einer Probemasse, Raumzeit ohne Rotation, geometrische Einheiten, ohne Strahlungsrückwirkung.

Für wen: ART und relativistische Astrophysik im Studium: Periheldrehung, Schwarzschild-Metrik.

Wichtige Begriffe

Periheldrehung
Schwarzschild-Metrik
Rosettenbahn
Geodäte
Apsidendrehung
Ereignishorizont
innerste stabile Kreisbahn

So funktioniert es

In der Schwarzschild-Metrik gehorcht die Bahn eines Probeteilchens d²u/dφ² + u = 1/L² + 3u², u = 1/r (G = c = M = 1). Der Term 3u² gibt die Periheldrehung Δφ ≈ 6πM/[a(1−e²)] pro Radialperiode: die Ellipse schließt sich nicht und zeichnet eine Rosette. Auf dem Schirm: Bahn, Horizont r = 2M und ISCO r = 6M.

Häufige Fragen

Warum schließt sich die Ellipse nicht?: Der Term 3u² in der Bahngleichung ist eine ART-Korrektur, die das newtonsche 1/r-Potential nicht hat. Er verschiebt das Perizentrum in jeder Radialperiode, die Ellipsenspitze dreht sich und zeichnet eine Rosette. Das ist Krümmung der Raumzeit, nicht eine „zusätzliche“ Kraft ∝ 1/r³ im flachen Raum — obwohl die Schreibweise in u(φ) ähnlich aussieht.
Wie hängt das mit den 43″ pro Jahrhundert beim Merkur zusammen?: Im schwachen Feld gilt Δφ ≈ 6πM/[a(1−e²)] pro Umlauf; über ein Jahrhundert für a und e des Merkur ergibt das etwa 43 Winkelsekunden nach Abzug der newtonschen Störungen. Hier ist die Starkfeld-Version desselben Mechanismus in geometrischen Einheiten.
Was markieren r = 2M und r = 6M?: r = 2M ist der Schwarzschild-Ereignishorizont; stabile zeitartige Kreisbahnen gibt es bis zum Horizont nicht. Die innerste stabile Kreisbahn eines nicht rotierenden schwarzen Lochs liegt bei r = 6M; darunter sind Kreisbahnen instabil.

Machen Sie mit verwandten Themen in dieser Kategorie weiter — oder alle 27 in „Gravitation und Bahnen“.

Ganze Kategorie →

NeuHochschule / Forschung

Periheldrehung des Merkur

Simulation starten

Die ART-Korrektur liefert die Periheldrehung Δω pro Umlauf; beim Merkur der Überschuss von etwa 43″ pro Jahrhundert. Die Animation ist verstärkt, die Zahlen folgen der physikalischen Formel.

NeuHochschule / Forschung

Chirp eines GW-Doppelsystems

Simulation starten

Annäherung einer kompakten Doppelquelle in führender postnewtonscher Ordnung: Frequenz f(τ) ∝ τ^(−3/8), Dehnung h(t) ∝ M_c^(5/3) f^(2/3) / D_L. Man stellt die Komponentenmassen und die Leuchtkraftentfernung ein; die Frequenz bricht an der innersten stabilen Kreisbahn von Schwarzschild ab.

NeuHochschule / Forschung

Dreikörperproblem: Achterbahn

Simulation starten

Gleiche Massen: Choreografie von Chenciner–Montgomery in 2D (RK4, periodische Bahn).

NeuHochschule / Forschung

ISCO und Photonensphäre

Simulation starten

Effektives Potential V_eff(r) in der Schwarzschild-Metrik: ISCO bei r = 6M, Photonensphäre bei r = 3M.

NeuHochschule / Forschung

Oberth-Effekt

Simulation starten

Dasselbe Δv in Flugrichtung im Perizentrum und im Apozentrum derselben Ellipse: die spezifische Energie ε wächst stärker, wenn der Impuls unten im Potentialtopf gegeben wird.

NeuSchule

Bahn um den Erde–Mond-Baryzentrum

Simulation starten

Erde und Mond laufen um den gemeinsamen Massenschwerpunkt. Der Weg des Erdmittelpunkts um die Sonne ist die Baryzentrumsellipse plus eine monatliche Schleife (am Bildschirm überhöht).

Periheldrehung im Schwarzschild-Feld

Zum Modell

So funktioniert es

Häufige Fragen

Ähnliche Simulationen

Periheldrehung des Merkur

Chirp eines GW-Doppelsystems

Dreikörperproblem: Achterbahn

ISCO und Photonensphäre

Oberth-Effekt

Bahn um den Erde–Mond-Baryzentrum

Periheldrehung im Schwarzschild-Feld

Zum Modell

So funktioniert es

Häufige Fragen