Por que a elipse não se fecha?

O termo 3u² na equação da órbita é uma correção da relatividade geral que o potencial newtoniano 1/r não tem. Ele desloca o pericentro a cada período radial, e o vértice da elipse gira, desenhando uma roseta. É curvatura do espaço-tempo, não uma força «a mais» ∝ 1/r³ no espaço plano — embora na equação u(φ) a escrita se pareça.

O que isso tem a ver com os 43″ por século de Mercúrio?

Em campo fraco, Δφ ≈ 6πM/[a(1−e²)] por volta; acumulado num século para o a e o e de Mercúrio dá cerca de 43 segundos de arco depois de subtrair as perturbações newtonianas. Aqui está a versão de campo forte do mesmo mecanismo, em unidades geométricas.

O que marcam r = 2M e r = 6M?

r = 2M é o horizonte de eventos de Schwarzschild; não há órbitas circulares estáveis do tipo tempo até o horizonte. A órbita circular estável mais interna de um buraco sem rotação fica em r = 6M; por dentro, as órbitas circulares são instáveis.

Precessão do periélio (Schwarzschild)

Geodésica na métrica de Schwarzschild: d²u/dφ² + u = 1/L² + 3u². Avanço do periélio Δφ ≈ 6πM/[a(1−e²)] por volta — o mesmo efeito que os 43″/século de Mercúrio.

Sobre o modelo

A precessão do periélio de Schwarzschild: uma partícula de prova segue uma geodésica na métrica de Schwarzschild. A equação da órbita na forma φ, d²u/dφ² + u = 1/L² + 3u² (G = c = M = 1, u = 1/r), integra-se por Runge–Kutta de ordem 4. A elipse newtoniana fechada dá lugar a uma roseta que precessa; o avanço do pericentro por volta Δφ ≈ 6πM/[a(1−e²)] é o mesmo efeito da relatividade geral que dá 43″ por século no periélio de Mercúrio. Marcam-se o horizonte r = 2M e a órbita circular estável mais interna r = 6M. Hipóteses: movimento geodésico de uma massa de prova, espaço-tempo sem rotação, unidades geométricas, sem reação de radiação.

Para quem: Relatividade geral e astrofísica relativística da graduação: precessão do periélio, métrica de Schwarzschild.

Conceitos-chave

precessão do periélio
métrica de Schwarzschild
órbita em roseta
geodésica
deslocamento das apsides
horizonte de eventos
órbita circular estável mais interna

Como funciona

Na métrica de Schwarzschild a órbita da partícula de prova obedece a d²u/dφ² + u = 1/L² + 3u², u = 1/r (G = c = M = 1). O termo 3u² dá o avanço do periélio Δφ ≈ 6πM/[a(1−e²)] por período radial: a elipse não se fecha e desenha uma roseta. Na tela: a trajetória, o horizonte r = 2M e a ISCO r = 6M.

Perguntas frequentes

Por que a elipse não se fecha?: O termo 3u² na equação da órbita é uma correção da relatividade geral que o potencial newtoniano 1/r não tem. Ele desloca o pericentro a cada período radial, e o vértice da elipse gira, desenhando uma roseta. É curvatura do espaço-tempo, não uma força «a mais» ∝ 1/r³ no espaço plano — embora na equação u(φ) a escrita se pareça.
O que isso tem a ver com os 43″ por século de Mercúrio?: Em campo fraco, Δφ ≈ 6πM/[a(1−e²)] por volta; acumulado num século para o a e o e de Mercúrio dá cerca de 43 segundos de arco depois de subtrair as perturbações newtonianas. Aqui está a versão de campo forte do mesmo mecanismo, em unidades geométricas.
O que marcam r = 2M e r = 6M?: r = 2M é o horizonte de eventos de Schwarzschild; não há órbitas circulares estáveis do tipo tempo até o horizonte. A órbita circular estável mais interna de um buraco sem rotação fica em r = 6M; por dentro, as órbitas circulares são instáveis.

Continue com temas próximos desta categoria — ou todos os 27 em «Gravidade e órbitas».

Toda a categoria →

NovoUniversidade / pesquisa

Precessão do periélio de Mercúrio

Abrir o simulador

A correção da relatividade geral dá o giro do periélio Δω por volta; para Mercúrio o excesso é cerca de 43″ por século. A animação está ampliada; os números seguem a fórmula física.

NovoUniversidade / pesquisa

Ondas gravitacionais: chirp de um sistema binário

Abrir o simulador

Aproximação de uma binária compacta à ordem dominante pós-newtoniana: frequência f(τ) ∝ τ^(−3/8), deformação h(t) ∝ M_c^(5/3) f^(2/3) / D_L. Variam-se as massas dos componentes e a distância de luminosidade; a frequência interrompe-se na órbita estável interna de Schwarzschild.

NovoUniversidade / pesquisa

Órbita em oito no problema de três corpos

Abrir o simulador

Massas iguais: coreografia de Chenciner–Montgomery em 2D (RK4, órbita periódica).

NovoUniversidade / pesquisa

Esfera de fótons e ISCO

Abrir o simulador

Potencial efetivo V_eff(r) na métrica de Schwarzschild: ISCO em r = 6M, esfera de fótons em r = 3M.

NovoUniversidade / pesquisa

Efeito Oberth

Abrir o simulador

O mesmo Δv prógrado no pericentro e no apocentro de uma mesma elipse: a energia específica ε sobe mais se o impulso for dado no fundo do poço de potencial.

NovoEscola

Baricentro Terra–Lua

Abrir o simulador

A Terra e a Lua giram em torno do centro de massa comum. O caminho do centro da Terra em torno do Sol é a elipse do baricentro mais uma laçada mensal (na tela, exagerada).

Precessão do periélio (Schwarzschild)

Sobre o modelo

Como funciona

Perguntas frequentes

Simuladores relacionados

Precessão do periélio de Mercúrio

Ondas gravitacionais: chirp de um sistema binário

Órbita em oito no problema de três corpos

Esfera de fótons e ISCO

Efeito Oberth

Baricentro Terra–Lua

Precessão do periélio (Schwarzschild)

Sobre o modelo

Como funciona

Perguntas frequentes