Por que a fórmula da luz não é a mesma do som?

O som precisa de um meio, e as fórmulas dependem do movimento da fonte e do observador em relação a esse meio. Na luz no vácuo não há meio privilegiado: a relatividade especial dá uma fórmula simétrica que depende só da velocidade relativa.

O que significa um desvio para o vermelho z = 1?

O comprimento de onda observado é o dobro do emitido. Pela fórmula relativística isso é afastamento a 0,6c. Para galáxias distantes esse z já fala da expansão cósmica, não de um «carro comum» na estrada.

Quando basta a aproximação Δλ/λ ≈ v/c?

O erro é da ordem de 1% para velocidades menores que cerca de 0,1c. Para a Terra e a maior parte das estrelas isso basta. Para galáxias distantes e medidas precisas precisa-se da fórmula relativística completa.

Há aqui o efeito Doppler transversal ou o desvio gravitacional para o vermelho?

Não. Está só o efeito Doppler longitudinal (radial) para movimento inercial no vácuo. O deslocamento transversal e o desvio gravitacional para o vermelho são efeitos relativísticos à parte.

Efeito Doppler da luz e desvio para o vermelho

Efeito Doppler longitudinal relativístico no vácuo: f/f₀ e z em função de β = v/c; aproximação linear Δλ/λ ≈ v/c contra a fórmula exata √[(1+β)/(1−β)].

Sobre o modelo

O efeito Doppler da luz é o deslocamento da frequência de uma onda eletromagnética quando a fonte e o observador se movem um em relação ao outro no vácuo. Se a fonte se afasta, o comprimento de onda cresce (desvio para o vermelho); se se aproxima, cai (desvio para o azul). A fórmula relativística exata no caso longitudinal é f/f₀ = √[(1 − β)/(1 + β)] no afastamento, com β = v/c. O desvio para o vermelho é z = (λ_obs − λ_em)/λ_em = f₀/f − 1. A aproximação linear Δλ/λ ≈ v/c só vale se v ≪ c. O movimento é estritamente ao longo da linha de visada; o efeito Doppler transversal e o desvio gravitacional para o vermelho não entram. No espectro as linhas andam para a direita ou para a esquerda; ao lado comparam-se a estimativa linear e a relativística.

Para quem: Ensino médio e início da graduação: ondas, relatividade especial, velocidades radiais em astronomia.

Conceitos-chave

efeito Doppler relativístico
desvio para o vermelho
desvio para o azul
velocidade radial
linha espectral
β = v/c
lei de Hubble

Como funciona

Fonte e observador movem-se ao longo da linha de visada. O fator relativístico é f/f₀ = √[(1 − β)/(1 + β)] no afastamento; o desvio para o vermelho é z = √[(1 + β)/(1 − β)] − 1. Para β pequeno isso quase coincide com Δλ/λ ≈ v/c. No espectro as linhas cinzentas são o repouso; ao lado, o deslocamento linear e o relativístico exato.

Fórmulas principais

Relativístico (a fonte emite f₀, o observador ao longo de ±x): f_obs/f₀ = √((1−β)/(1+β)), β = v/c para fonte que se afasta.

Desvio para o vermelho z = λ_obs/λ_em − 1 = √((1+β)/(1−β)) − 1.

Limite não relativístico: z ≈ β, f_obs/f₀ ≈ 1 − β.

Perguntas frequentes

Por que a fórmula da luz não é a mesma do som?: O som precisa de um meio, e as fórmulas dependem do movimento da fonte e do observador em relação a esse meio. Na luz no vácuo não há meio privilegiado: a relatividade especial dá uma fórmula simétrica que depende só da velocidade relativa.
O que significa um desvio para o vermelho z = 1?: O comprimento de onda observado é o dobro do emitido. Pela fórmula relativística isso é afastamento a 0,6c. Para galáxias distantes esse z já fala da expansão cósmica, não de um «carro comum» na estrada.
Quando basta a aproximação Δλ/λ ≈ v/c?: O erro é da ordem de 1% para velocidades menores que cerca de 0,1c. Para a Terra e a maior parte das estrelas isso basta. Para galáxias distantes e medidas precisas precisa-se da fórmula relativística completa.
Há aqui o efeito Doppler transversal ou o desvio gravitacional para o vermelho?: Não. Está só o efeito Doppler longitudinal (radial) para movimento inercial no vácuo. O deslocamento transversal e o desvio gravitacional para o vermelho são efeitos relativísticos à parte.

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