Warum ist die Formel für Licht eine andere als für Schall?

Schall braucht ein Medium, und die Formeln hängen von der Bewegung von Quelle und Beobachter relativ zu diesem Medium ab. Beim Licht im Vakuum gibt es kein ausgezeichnetes Medium: die spezielle Relativitätstheorie liefert eine symmetrische Formel nur von der Relativgeschwindigkeit.

Was bedeutet eine Rotverschiebung z = 1?

Die beobachtete Wellenlänge ist doppelt so groß wie die ausgesandte. Nach der relativistischen Formel ist das eine Entfernung mit der Geschwindigkeit 0,6c. Bei fernen Galaxien spricht ein solches z schon von der kosmischen Expansion, nicht von einem „gewöhnlichen“ Auto auf der Straße.

Wann reicht die Näherung Δλ/λ ≈ v/c?

Der Fehler liegt in der Größenordnung 1 %, wenn die Geschwindigkeiten kleiner als etwa 0,1c sind. Für die Erde und die meisten Sterne genügt das. Für ferne Galaxien und genaue Messungen braucht man die volle relativistische Formel.

Gibt es hier den transversalen Doppler-Effekt oder die gravitative Rotverschiebung?

Nein. Gezeigt ist nur der longitudinale (radiale) Doppler-Effekt für inertiale Bewegung im Vakuum. Die transversale Verschiebung und die gravitative Rotverschiebung sind eigene relativistische Effekte.

Doppler-Effekt des Lichts und Rotverschiebung

Relativistischer longitudinaler Doppler-Effekt im Vakuum: f/f₀ und z gegen β = v/c; lineare Näherung Δλ/λ ≈ v/c gegen die genaue Formel √[(1+β)/(1−β)].

Zum Modell

Der Doppler-Effekt des Lichts ist die Frequenzverschiebung einer elektromagnetischen Welle bei Relativbewegung von Quelle und Beobachter im Vakuum. Entfernt sich die Quelle, wächst die Wellenlänge (Rotverschiebung); nähert sie sich, fällt sie (Blauverschiebung). Die genaue relativistische Formel für den longitudinalen Fall lautet f/f₀ = √[(1 − β)/(1 + β)] bei Entfernung, wobei β = v/c. Die Rotverschiebung ist z = (λ_Beob − λ_em)/λ_em = f₀/f − 1. Die lineare Näherung Δλ/λ ≈ v/c gilt nur bei v ≪ c. Die Bewegung liegt streng längs des Sehstrahls; der transversale Doppler-Effekt und die gravitative Rotverschiebung gehören nicht dazu. Im Spektrum wandern die Linien nach rechts oder links; daneben stehen lineare und relativistische Schätzung.

Für wen: Oberstufe und Studienbeginn: Wellen, spezielle Relativitätstheorie, Radialgeschwindigkeiten in der Astronomie.

Wichtige Begriffe

relativistischer Doppler-Effekt
Rotverschiebung
Blauverschiebung
Radialgeschwindigkeit
Spektrallinie
β = v/c
Hubblesches Gesetz

So funktioniert es

Quelle und Beobachter bewegen sich längs des Sehstrahls. Der relativistische Faktor ist f/f₀ = √[(1 − β)/(1 + β)] bei Entfernung; die Rotverschiebung z = √[(1 + β)/(1 − β)] − 1. Bei kleinem β ist das fast Δλ/λ ≈ v/c. Im Spektrum sind die grauen Linien die Ruhe, daneben die lineare und die genaue relativistische Verschiebung.

Wichtige Gleichungen

Relativistisch (Quelle sendet f₀, Beobachter längs ±x): f_Beob/f₀ = √((1−β)/(1+β)), β = v/c für eine sich entfernende Quelle.

Rotverschiebung z = λ_Beob/λ_em − 1 = √((1+β)/(1−β)) − 1.

Nichtrelativistischer Grenzfall: z ≈ β, f_Beob/f₀ ≈ 1 − β.

Häufige Fragen

Warum ist die Formel für Licht eine andere als für Schall?: Schall braucht ein Medium, und die Formeln hängen von der Bewegung von Quelle und Beobachter relativ zu diesem Medium ab. Beim Licht im Vakuum gibt es kein ausgezeichnetes Medium: die spezielle Relativitätstheorie liefert eine symmetrische Formel nur von der Relativgeschwindigkeit.
Was bedeutet eine Rotverschiebung z = 1?: Die beobachtete Wellenlänge ist doppelt so groß wie die ausgesandte. Nach der relativistischen Formel ist das eine Entfernung mit der Geschwindigkeit 0,6c. Bei fernen Galaxien spricht ein solches z schon von der kosmischen Expansion, nicht von einem „gewöhnlichen“ Auto auf der Straße.
Wann reicht die Näherung Δλ/λ ≈ v/c?: Der Fehler liegt in der Größenordnung 1 %, wenn die Geschwindigkeiten kleiner als etwa 0,1c sind. Für die Erde und die meisten Sterne genügt das. Für ferne Galaxien und genaue Messungen braucht man die volle relativistische Formel.
Gibt es hier den transversalen Doppler-Effekt oder die gravitative Rotverschiebung?: Nein. Gezeigt ist nur der longitudinale (radiale) Doppler-Effekt für inertiale Bewegung im Vakuum. Die transversale Verschiebung und die gravitative Rotverschiebung sind eigene relativistische Effekte.

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