Por que a curva de Bose–Einstein sobe tanto perto de μ?

No gás de Bose ideal a ocupação diverge ao E → μ⁺. Na realidade as interações e o volume finito tiram a singularidade; no modelo descartam-se ou recortam-se os pontos com denominador não físico.

Quando Maxwell–Boltzmann coincide com Fermi–Dirac?

Se as ocupações são pequenas, f ≪ 1, o princípio de Pauli não importa e f_FD ≈ e^{β(μ−E)} = f_MB. A razão f_MB / f_FD do painel lateral tende a 1 nesse regime.

Por que o gás de Bose se desenha só se E > μ?

Senão o denominador e^{β(E−μ)} − 1 muda de sinal ou se anula: a ocupação média do nível não está definida. O potencial químico de um gás de Bose ideal não pode superar a energia do nível fundamental.

Distribuições de Bose–Einstein e Fermi–Dirac

Ocupação f(E) no ensemble grande canônico aos mesmos T e μ: Fermi–Dirac, Bose–Einstein e Maxwell–Boltzmann clássico.

Ocupação em função da energia de uma partícula E (mesmos μ e k_B T). O gráfico principal está abaixo: aumente T ou desloque μ para ver como FD se suaviza e como MB se aproxima de FD na cauda diluída.

Gráficos

Sobre o modelo

As distribuições de Bose–Einstein e de Fermi–Dirac dão, para partículas idênticas sem interação em equilíbrio com um reservatório a T e μ, a ocupação média de um nível de uma partícula com energia E. Fermi–Dirac, com o princípio de exclusão de Pauli: f_FD = 1/(e^{β(E−μ)} + 1). Bose–Einstein: f_BE = 1/(e^{β(E−μ)} − 1) se E > μ no gás ideal (a divergência ao E → μ⁺ é a região de condensação; aqui não se tratam por completo as interações). O Maxwell–Boltzmann clássico f_MB = e^{β(μ−E)} é o limite diluído. O gráfico superpõe as três funções aos mesmos T e μ.

Para quem: Termodinâmica e estatística quântica da graduação: ensemble grande canônico.

Conceitos-chave

distribuição de Fermi–Dirac
distribuição de Bose–Einstein
distribuição de Maxwell–Boltzmann
potencial químico
ensemble grande canônico
princípio de Pauli

Como funciona

Partículas idênticas sem interação no ensemble grande canônico: ocupação média de um nível de energia E à temperatura T e potencial químico μ. Fermi–Dirac f_FD = 1/(e^{β(E−μ)}+1) pelo princípio de Pauli; Bose–Einstein f_BE = 1/(e^{β(E−μ)}−1) se E > μ; Maxwell–Boltzmann clássico f_MB = e^{β(μ−E)}, limite diluído f ≪ 1. Três curvas no mesmo gráfico, aos mesmos k_B T e μ. No gás de Bose, f_BE cresce ao E → μ⁺; no modelo a curva se recorta para poder compará-la com Fermi–Dirac.

Perguntas frequentes

Por que a curva de Bose–Einstein sobe tanto perto de μ?: No gás de Bose ideal a ocupação diverge ao E → μ⁺. Na realidade as interações e o volume finito tiram a singularidade; no modelo descartam-se ou recortam-se os pontos com denominador não físico.
Quando Maxwell–Boltzmann coincide com Fermi–Dirac?: Se as ocupações são pequenas, f ≪ 1, o princípio de Pauli não importa e f_FD ≈ e^{β(μ−E)} = f_MB. A razão f_MB / f_FD do painel lateral tende a 1 nesse regime.
Por que o gás de Bose se desenha só se E > μ?: Senão o denominador e^{β(E−μ)} − 1 muda de sinal ou se anula: a ocupação média do nível não está definida. O potencial químico de um gás de Bose ideal não pode superar a energia do nível fundamental.

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