É a mesma coisa que «o raio toma o caminho mais curto»?

Num meio homogêneo a menor distância e o menor tempo coincidem. Com n diferentes, o caminho geométrico mais curto não precisa ser o de menor tempo: o extremo é o do caminho óptico ∫ n ds.

Por que o mínimo do caminho óptico dá a lei da refração?

Ao derivar OPL(P) em relação à coordenada do ponto na fronteira obtém-se n₁ sin θᵢ = n₂ sin θₜ. O mesmo raio que sai da construção de Huygens ou das condições de fronteira para a fase.

O que acontece se n₁ = n₂?

O mínimo do OPL está sobre a reta AB: não há quebra, o ângulo de incidência iguala o de «refração». É a propagação retilínea num meio homogêneo.

Princípio de Fermat

Caminho óptico OPL = n₁AP + n₂PB segundo o ponto de incidência; o mínimo coincide com o raio da lei da refração.

Gráficos

Sobre o modelo

O princípio de Fermat: entre dois pontos a luz segue o caminho para o qual o tempo de percurso (o caminho óptico) é estacionário — em geral um mínimo. O caminho óptico OPL = n₁·AP + n₂·PB depende do ponto de incidência P numa fronteira plana. O mínimo de OPL(P) coincide com o raio da lei da refração n₁ sin θᵢ = n₂ sin θₜ. Num meio homogêneo isso dá a reta; na fronteira, a quebra do raio. Dá para mover P e comparar o próprio OPL com o mínimo. Não entram a difração nem a heterogeneidade dentro de cada meio.

Para quem: Óptica geométrica do ensino médio e da graduação: princípio de Fermat e lei da refração.

Conceitos-chave

princípio de Fermat
caminho óptico
lei da refração
índice de refração
óptica geométrica

Como funciona

Entre dois pontos em meios homogêneos distintos, separados por uma fronteira plana, realiza-se o raio para o qual o caminho óptico n₁ℓ₁ + n₂ℓ₂ é estacionário (aqui, mínimo). Ao deslocar o ponto de quebra P obtém-se uma curva de OPL cujo mínimo coincide com a lei da refração.

Fórmulas principais

OPL = n₁ |AP| + n₂ |PB| → mín. sobre P na fronteira

⇒ n₁ sin θᵢ = n₂ sin θₜ

Perguntas frequentes

É a mesma coisa que «o raio toma o caminho mais curto»?: Num meio homogêneo a menor distância e o menor tempo coincidem. Com n diferentes, o caminho geométrico mais curto não precisa ser o de menor tempo: o extremo é o do caminho óptico ∫ n ds.
Por que o mínimo do caminho óptico dá a lei da refração?: Ao derivar OPL(P) em relação à coordenada do ponto na fronteira obtém-se n₁ sin θᵢ = n₂ sin θₜ. O mesmo raio que sai da construção de Huygens ou das condições de fronteira para a fase.
O que acontece se n₁ = n₂?: O mínimo do OPL está sobre a reta AB: não há quebra, o ângulo de incidência iguala o de «refração». É a propagação retilínea num meio homogêneo.

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