Por que a relação das trações cresce de forma exponencial e não linear?

O atrito em cada pedaço de arco depende da tração local. Mais adiante no enrolamento, T é maior, maior a normal e maior o acréscimo de atrito no pedaço seguinte. Integrar esse efeito de «juros sobre juros» dá e^{μφ}.

A fórmula vale se a corda já escorrega?

T₂ = T₁ e^{μφ} é a condição de repouso-limite, quando o atrito em todo o arco é o atrito estático máximo. Se há deslizamento toma-se o coeficiente cinético, em geral menor, e também importa a inércia da corda. Aqui modela-se a retenção estática-limite.

Como a espessura e a rigidez da corda afastam o caso real do modelo ideal?

O modelo toma a corda infinitamente fina e flexível. Uma corda grossa ou rígida resiste à flexão, a pressão no cilindro se reparte de outro modo e muda o atrito efetivo. Para o cálculo de um cabrestante isso já é correção de engenharia.

Onde isso se usa na prática?

Um cabo num cabrestante ou num cabeço: algumas voltas e uma pessoa segura o cabo de um navio. Com μ ≈ 0,3 e três voltas completas (φ = 6π) a relação é da ordem de e^{0,3·6π} ≈ 500: um esforço de 10 N sustenta cerca de 5 kN.

Atrito de uma corda no cilindro

Relação-limite das trações T₂ = T₁ e^{μφ}: coeficiente de atrito μ e ângulo de enrolamento φ. Vista de cima e gráfico de T₂/T₁ em função de φ.

Gráficos

Sobre o modelo

O atrito de uma corda no cilindro permite sustentar uma tração T₂ com um esforço T₁ bem menor na ponta livre. No equilíbrio-limite T₂ = T₁ e^{μφ}, em que μ é o coeficiente de atrito e φ o ângulo de enrolamento em radianos (fórmula de Euler–Eytelwein). Num pedaço pequeno de arco a normal é proporcional à tração e o atrito vale μ dN; ao integrar em φ sai a exponencial. Pode-se variar μ, φ e T₁; o gráfico mostra como T₂/T₁ cresce com o ângulo de enrolamento. O cilindro é rígido e imóvel, a corda é perfeitamente flexível e o atrito atinge o limite em todo o contato.

Para quem: Ensino médio avançado e início da faculdade: atrito, estática, fórmula de Euler para um fio flexível.

Conceitos-chave

fórmula de Euler–Eytelwein
atrito
tração
coeficiente de atrito
ângulo de enrolamento
equilíbrio-limite

Como funciona

Uma corda flexível abraça um cilindro áspero (cabrestante, cabeço, tambor de freio). Com μ constante e ângulo de enrolamento φ em radianos, a relação-limite das trações antes do escorregamento é T₂/T₁ = e^{μφ}. Várias voltas aumentam muito φ e, mesmo com um μ modesto, o ganho de tração fica grande. Na tela, vista de cima e gráfico de T₂/T₁ em função de φ.

Fórmulas principais

T₂ = T₁ e^(μφ) (φ em radianos)

μ é o atrito corda–tambor; corda idealmente flexível, flexão desprezível.

Perguntas frequentes

Por que a relação das trações cresce de forma exponencial e não linear?: O atrito em cada pedaço de arco depende da tração local. Mais adiante no enrolamento, T é maior, maior a normal e maior o acréscimo de atrito no pedaço seguinte. Integrar esse efeito de «juros sobre juros» dá e^{μφ}.
A fórmula vale se a corda já escorrega?: T₂ = T₁ e^{μφ} é a condição de repouso-limite, quando o atrito em todo o arco é o atrito estático máximo. Se há deslizamento toma-se o coeficiente cinético, em geral menor, e também importa a inércia da corda. Aqui modela-se a retenção estática-limite.
Como a espessura e a rigidez da corda afastam o caso real do modelo ideal?: O modelo toma a corda infinitamente fina e flexível. Uma corda grossa ou rígida resiste à flexão, a pressão no cilindro se reparte de outro modo e muda o atrito efetivo. Para o cálculo de um cabrestante isso já é correção de engenharia.
Onde isso se usa na prática?: Um cabo num cabrestante ou num cabeço: algumas voltas e uma pessoa segura o cabo de um navio. Com μ ≈ 0,3 e três voltas completas (φ = 6π) a relação é da ordem de e^{0,3·6π} ≈ 500: um esforço de 10 N sustenta cerca de 5 kN.

Continue com temas próximos desta categoria — ou todos os 85 em «Mecânica clássica».

Toda a categoria →

NovoEscola

Transmissão por correia e escorregamento

Abrir o simulador

Duas polias: a diferença de tensões é limitada por μ e pelo ângulo de abraçamento θ (e^{μθ}); o torque de carga frente a τ_max e um escorregamento simples em ω₂.

Escola

Força de atrito

Abrir o simulador

Atrito estático e atrito cinético; o coeficiente se regula no controle.

NovoEscola

Carro em uma curva

Abrir o simulador

Curva horizontal: v_max = √(μgR), comparação de F_c e μmg. Curva inclinada ideal sem atrito: tg θ = v²/(gR). Vista de cima e vista de lado.

Escola

Plano inclinado

Abrir o simulador

Ângulo de inclinação e coeficiente de atrito. Componentes das forças e movimento do bloco.

NovoEscola

Polias e talhas

Abrir o simulador

n ramos que sustentam a carga, a mesma tração T na corda, vantagem mecânica ideal = n, F = T.

NovoEscola

Estática do arco e da cunha

Abrir o simulador

O arco de pedra transmite compressão pela curva; a cunha decompõe a carga vertical em empuxo lateral.

Atrito de uma corda no cilindro

Gráficos

Sobre o modelo

Como funciona

Fórmulas principais

Perguntas frequentes

Simuladores relacionados

Transmissão por correia e escorregamento

Força de atrito

Carro em uma curva

Plano inclinado

Polias e talhas

Estática do arco e da cunha

Atrito de uma corda no cilindro

Gráficos

Sobre o modelo

Como funciona

Fórmulas principais

Perguntas frequentes