Por que e[n] aparece como a saída «limpa»?

O filtro adaptativo aprende a reproduzir a componente de ruído v correlacionada com x. Quando ŷ ≈ v, a subtração dá e = p − ŷ ≈ s. Num esquema de cancelamento esse nó é justamente o sinal na saída depois da compensação.

Quando o LMS diverge?

Para um sistema FIR pede-se classicamente 0 < μ < 2/λ_max(R_xx), em que R_xx é a matriz de autocorrelação das entradas dos taps. Um μ grande demais dispara os modos do erro dos pesos — experimente a predefinição com μ grande e o NLMS desligado. O NLMS renormaliza o passo pela energia da entrada e em geral alarga a zona de estabilidade.

Em que isso difere do filtro de Kalman do site?

O Kalman usa um modelo de estado explícito e covariâncias dos ruídos; o ganho sai das equações para P e K. O LMS é um gradiente estocástico sobre o quadrado instantâneo do erro em relação aos pesos do FIR: não há matriz F nem otimalidade estrita se os dados não são gaussianos ou não são estacionários.

Filtro adaptativo LMS

Q: Em que isso difere do filtro de Kalman do site?

O Kalman usa um modelo de estado explícito e covariâncias dos ruídos; o ganho sai das equações para P e K. O LMS é um gradiente estocástico sobre o quadrado instantâneo do erro em relação aos pesos do FIR: não há matriz F nem otimalidade estrita se os dados não são gaussianos ou não são estacionários.

Canal primário p = s + v, em que v é um FIR desconhecido do ruído branco de referência x[n]. FIR adaptativo de L taps com LMS ou NLMS: o erro e = p − wᵀx tende ao sinal útil s.

Gráficos

Sobre o modelo

O filtro adaptativo LMS ajusta os pesos de um FIR para subtrair do canal primário a interferência correlacionada com o ruído de referência. Esquema de aula de cancelamento ativo de ruído em malha direta: no sensor primário p[n] = s[n] + v[n], em que s é o sinal útil (seno, dois tons ou chirp linear) e v é a saída de um FIR desconhecido h de comprimento L_h alimentado por ruído branco gaussiano de referência x[n]. O FIR adaptativo de L taps forma ŷ[n] = Σⱼ wⱼ x[n−j]; o erro e[n] = p[n] − ŷ[n] move a regra de Widrow–Hoff w ← w + μ e[n] xₙ. O NLMS divide o passo por ε + ‖xₙ‖² e suaviza a instabilidade quando salta a potência da referência. Com L ≥ L_h e μ moderado os pesos convergem a h, ŷ copia v e e copia s. Em fones de ouvido reais entram o caminho secundário, a causalidade e o vazamento de s para o canal de referência.

Para quem: Cursos de sinais e sistemas e de DSP adaptativo; comparação com o filtro de Kalman e a regressão no vetor de referência.

Conceitos-chave

LMS
NLMS
regra de Widrow–Hoff
cancelamento ativo de ruído
identificação FIR
erro quadrático médio
passo de adaptação μ

Como funciona

LMS: os pesos w do FIR atualizam-se como w ← w + μ e x, em que e = p − wᵀx é o erro entre o primário p = s + v e a estimativa do ruído wᵀx; x é o vetor das últimas amostras do ruído branco de referência. O NLMS divide μ por ε + ‖x‖² para o passo não «explodir» se a potência instantânea for grande. Aqui **v = h * x com h desconhecido: se L ≥ L_h os pesos convergem a h e e copia s** — modelo de aula de cancelamento ativo de ruído e identificação de um sistema linear.

Fórmulas principais

ŷ[n] = Σⱼ wⱼ x[n−j], e[n] = p[n] − ŷ[n]

LMS: w ← w + μ e[n] xₙ

NLMS: w ← w + (μ / (ε + ‖xₙ‖²)) e[n] xₙ

Perguntas frequentes

Por que e[n] aparece como a saída «limpa»?: O filtro adaptativo aprende a reproduzir a componente de ruído v correlacionada com x. Quando ŷ ≈ v, a subtração dá e = p − ŷ ≈ s. Num esquema de cancelamento esse nó é justamente o sinal na saída depois da compensação.
Quando o LMS diverge?: Para um sistema FIR pede-se classicamente 0 < μ < 2/λ_max(R_xx), em que R_xx é a matriz de autocorrelação das entradas dos taps. Um μ grande demais dispara os modos do erro dos pesos — experimente a predefinição com μ grande e o NLMS desligado. O NLMS renormaliza o passo pela energia da entrada e em geral alarga a zona de estabilidade.
Em que isso difere do filtro de Kalman do site?: O Kalman usa um modelo de estado explícito e covariâncias dos ruídos; o ganho sai das equações para P e K. O LMS é um gradiente estocástico sobre o quadrado instantâneo do erro em relação aos pesos do FIR: não há matriz F nem otimalidade estrita se os dados não são gaussianos ou não são estacionários.

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