Por que a curva nem sempre passa pelos pontos de controle do meio?

Na curva de Bézier usual só as extremidades são interpoladas. Os pontos internos atraem e moldam a curva, mas em geral não estão sobre ela: definem a mistura de Bernstein, e não uma poligonal por todos os vértices.

Em que o de Casteljau é melhor que a fórmula de Bernstein?

Os dois definem a mesma curva. O algoritmo de de Casteljau é numericamente estável e geométrico: cada passo é uma interpolação linear que se pode desenhar.

O que acontece se todos os pontos de controle estiverem alinhados?

A curva de Bézier se reduz a esse segmento (ainda parametrizado por t). As interpolações intermediárias permanecem na reta: o cálculo preserva combinações afins.

Curvas de Bézier e de Casteljau

Pontos de controle definem a curva de Bézier; o algoritmo de de Casteljau constrói B(t) por interpolação linear aninhada.

Sobre o modelo

A curva de Bézier de grau n é determinada pelos pontos de controle P₀, …, Pₙ e calculada pelos polinômios de Bernstein ou pelo algoritmo de de Casteljau: interpolação linear aninhada B(t) = (1 − t)A + tB. Os pontos de controle podem ser arrastados; os segmentos intermediários são desenhados na hora e mostram como a curva se recorta do polígono de controle. O parâmetro t ∈ [0, 1] vai de P₀ a Pₙ; a curva permanece na envoltória convexa dos pontos de controle. Só as extremidades são interpoladas; os pontos internos atraem a curva, mas em geral não estão sobre ela. Trata-se da geometria do cálculo — não da emenda de splines, dos pesos NURBS nem da aproximação de dados.

Para quem: Computação gráfica e geometria computacional: curvas de Bézier, algoritmo de de Casteljau.

Conceitos-chave

curva de Bézier
algoritmo de de Casteljau
pontos de controle
polinômios de Bernstein
interpolação linear
envoltória convexa

Como funciona

A curva de Bézier B(t) é construída pelo algoritmo de de Casteljau: em cada nível os pontos vizinhos são interpolados linearmente com o parâmetro t ∈ [0, 1]. Na tela veem-se o polígono de controle, os segmentos intermediários e o ponto B(t). A curva passa pelas extremidades e fica na envoltória convexa dos pontos de controle.

Fórmulas principais

B(t) = Σᵢ C(n,i) (1−t)ⁿ⁻ⁱ tⁱ Pᵢ

de Casteljau: Pᵢ⁾ʳ⁾ = (1−t)Pᵢ⁾ʳ⁻¹⁾ + t Pᵢ₊₁⁾ʳ⁻¹⁾

B(t) = P₀⁾ⁿ⁾, cost: O(n²)

Perguntas frequentes

Por que a curva nem sempre passa pelos pontos de controle do meio?: Na curva de Bézier usual só as extremidades são interpoladas. Os pontos internos atraem e moldam a curva, mas em geral não estão sobre ela: definem a mistura de Bernstein, e não uma poligonal por todos os vértices.
Em que o de Casteljau é melhor que a fórmula de Bernstein?: Os dois definem a mesma curva. O algoritmo de de Casteljau é numericamente estável e geométrico: cada passo é uma interpolação linear que se pode desenhar.
O que acontece se todos os pontos de controle estiverem alinhados?: A curva de Bézier se reduz a esse segmento (ainda parametrizado por t). As interpolações intermediárias permanecem na reta: o cálculo preserva combinações afins.

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