¿Las oscilaciones duran para siempre?

En este modelo idealizado y conservativo, sí: las órbitas son cerradas y no hay amortiguamiento. En la naturaleza esos ciclos sin decaimiento son raros: la capacidad de carga y la saturación de la caza suelen dar un ciclo límite o un foco estable.

¿Qué significa el punto de equilibrio (γ/δ, α/β)?

Son las abundancias constantes en las que ambas derivadas valen cero. Si se arranca justo en el punto, las poblaciones se quedan. El equilibrio es de estabilidad neutra: un desplazamiento pequeño da oscilaciones persistentes alrededor, no un regreso ni una fuga.

¿Por qué la interacción se escribe como NP?

Es la ley de acción de masas: la probabilidad de un encuentro al azar es proporcional al producto de las abundancias. El mismo recorte aparece en la cinética química y en los modelos epidémicos más simples.

¿Cuáles son las simplificaciones principales del modelo?

La presa no tiene capacidad de carga, el depredador come una sola especie, no hay retardo en la reproducción ni refugios. El modelo de Rosenzweig–MacArthur añade la logística de la presa y da un atractor más realista.

Lotka-Volterra

Modelo clásico depredador–presa: N′ = αN − βNP, P′ = δNP − γP. Plano de fases, integración de Runge–Kutta, punto de equilibrio (γ/δ, α/β).

Sobre el modelo

Las abundancias de la presa y del depredador en el modelo de Lotka–Volterra oscilan con un desfase. El sistema: dN/dt = αN − βNP, dP/dt = δNP − γP, donde α es el crecimiento de la presa sin depredador, β la intensidad de la caza, δ la eficiencia con que el alimento se convierte en crías del depredador y γ la mortalidad del depredador. Los términos βNP y δNP son la ley de acción de masas: la tasa de encuentros es proporcional al producto de las abundancias. No hay capacidad de carga, ni estructura por edades ni espacio: sin depredador la presa crece de forma exponencial. El equilibrio no nulo (N*, P*) = (γ/δ, α/β) es un centro de estabilidad neutra: las órbitas en el plano (N, P) son cerradas y la amplitud la fijan las condiciones iniciales. La integración es el método de Runge–Kutta de cuarto orden; el punto rojo marca el equilibrio. No hay tope logístico de la presa, a diferencia del modelo de Rosenzweig–MacArthur.

Para quién: Sistemas dinámicos y ecología: EDO acopladas, plano de fases, estabilidad neutra.

Conceptos clave

modelo de Lotka–Volterra
depredador–presa
plano de fases
punto de equilibrio
método de Runge–Kutta
dinámica de poblaciones
estabilidad neutra
ley de acción de masas

Cómo funciona

Modelo de Lotka–Volterra: dN/dt = αN − βNP, dP/dt = δNP − γP. Equilibrio interior (N*, P*) = (γ/δ, α/β). Las trayectorias en el plano (N, P) son curvas cerradas alrededor del centro; no hay logística de la presa. Integración con el método de Runge–Kutta; el punto rojo es el equilibrio.

Fórmulas principales

N' = αN − βNP · P' = δNP − γP

Preguntas frecuentes

¿Las oscilaciones duran para siempre?: En este modelo idealizado y conservativo, sí: las órbitas son cerradas y no hay amortiguamiento. En la naturaleza esos ciclos sin decaimiento son raros: la capacidad de carga y la saturación de la caza suelen dar un ciclo límite o un foco estable.
¿Qué significa el punto de equilibrio (γ/δ, α/β)?: Son las abundancias constantes en las que ambas derivadas valen cero. Si se arranca justo en el punto, las poblaciones se quedan. El equilibrio es de estabilidad neutra: un desplazamiento pequeño da oscilaciones persistentes alrededor, no un regreso ni una fuga.
¿Por qué la interacción se escribe como NP?: Es la ley de acción de masas: la probabilidad de un encuentro al azar es proporcional al producto de las abundancias. El mismo recorte aparece en la cinética química y en los modelos epidémicos más simples.
¿Cuáles son las simplificaciones principales del modelo?: La presa no tiene capacidad de carga, el depredador come una sola especie, no hay retardo en la reproducción ni refugios. El modelo de Rosenzweig–MacArthur añade la logística de la presa y da un atractor más realista.

Siga con temas cercanos de esta categoría — o todos los 85 de «Visualización matemática».

Toda la categoría →

NuevoUniversidad / investigación

Euler y RK4 (péndulo simple)

Abrir el simulador

Una misma ecuación no lineal del péndulo simple y un mismo paso h: el método de Euler explícito junto al de Runge–Kutta de cuarto orden.

NuevoUniversidad / investigación

Regiones de estabilidad de Runge-Kutta

Abrir el simulador

Estabilidad absoluta en el plano z = hλ para Euler explícito, RK2 y RK4: se mueven λ y h, se comparan |R(z)| y se ve por qué los modos rígidos piden pasos explícitos chicos.

NuevoEscuela

Crecimiento logístico

Abrir el simulador

Ecuación logística dN/dt = rN(1 − N/K): curva en S y saturación en la capacidad de carga K. La gráfica es la solución exacta, no un paso de Euler.

NuevoUniversidad / investigación

Cadena alimentaria de tres especies (Hastings-Powell)

Abrir el simulador

x→y→z, respuestas de Holling II, logística en x; caos al variar b₁; RK4, planos de fases.

NuevoUniversidad / investigación

Retrato de fase (EDO 2D)

Abrir el simulador

Campo de direcciones y trayectorias al hacer clic: armónico, amortiguamiento, silla, nodos, focos, péndulo (RK4).

NuevoEscuela

Modelo SIR de epidemia

Abrir el simulador

S + I + R = 1: βSI y γI; ℛ₀ ≈ β/γ, umbral de inmunidad colectiva 1 − 1/ℛ₀; gráfica en el tiempo con RK4.

Lotka-Volterra

Sobre el modelo

Cómo funciona

Fórmulas principales

Preguntas frecuentes

Simuladores afines

Euler y RK4 (péndulo simple)

Regiones de estabilidad de Runge-Kutta

Crecimiento logístico

Cadena alimentaria de tres especies (Hastings-Powell)

Retrato de fase (EDO 2D)

Modelo SIR de epidemia

Lotka-Volterra

Sobre el modelo

Cómo funciona

Fórmulas principales

Preguntas frecuentes