¿Por qué en la región caótica la figura se ve «gruesa» o borrosa?

Las órbitas caóticas son sensibles a las condiciones iniciales y llenan un conjunto invariante de estructura rica. Muchas iteraciones dan una nube densa; un calentamiento corto deja colas que vienen de x₀.

¿Qué significa la línea punteada cerca de r ≈ 3,57?

Es el punto de acumulación aproximado r∞ de la cascada de duplicación de periodo: más allá, los ciclos de periodo 2ⁿ ya son inestables en conjunto y domina una dinámica más compleja, aunque dentro del caos quedan ventanas periódicas.

¿Es el mismo modelo que «Crecimiento logístico»?

Son parientes, pero objetos distintos: allá se integra la ecuación dN/dt = rN(1 − N/K). Aquí es un mapa discreto con una no linealidad parecida; justo ese mapa da las bifurcaciones y el caos.

¿Para qué cambiar los pasos de calentamiento y el número de iteraciones?

El calentamiento descarta el acercamiento al atractor; sin él se ven colas que vienen de x₀. Más iteraciones llenan el diagrama con más densidad, pero pesan más en el cálculo.

Bifurcaciones del mapa logístico

Mapa xₙ₊₁ = r xₙ(1 − xₙ): en horizontal el parámetro r, en vertical los valores en el atractor. Se ven la duplicación de periodo y el caos (cascada de Feigenbaum).

Sobre el modelo

El mapa logístico xₙ₊₁ = r xₙ(1 − xₙ) es el ejemplo clásico de caos determinista en tiempo discreto. Con un arranque típico y r entre unos 2 y 4, la órbita se queda en el intervalo [0, 1]. Si r es chico hay un punto fijo estable; al crecer r pierde estabilidad en una bifurcación de duplicación de periodo, luego pierde estabilidad el 2-ciclo, aparece un 4-ciclo, y así sucesivamente: la cascada de Feigenbaum. Tras acumularse las bifurcaciones, en r∞ ≈ 3,569945… aparecen bandas caóticas con ventanas de periodicidad. Diagrama de bifurcaciones: para muchos r en horizontal se descarta el transitorio y luego se marcan en vertical los x siguientes; el brillo es la frecuencia de visita. Es otro objeto, distinto del crecimiento logístico continuo dN/dt = rN(1 − N/K), donde en la formulación escalar autónoma no hay caos.

Para quién: Sistemas dinámicos y caos: comparación de los modelos logísticos discreto y continuo.

Conceptos clave

mapa logístico
diagrama de bifurcaciones
duplicación de periodo
constante de Feigenbaum
caos determinista
atractor
diagrama de órbita

Cómo funciona

Mapa logístico xₙ₊₁ = r xₙ(1 − xₙ) en el intervalo [0, 1]: en horizontal el parámetro r, en vertical los valores de x después del calentamiento y de una iteración larga. El brillo refleja con qué frecuencia la órbita visita el píxel. Se ven la cascada de duplicación de periodo y el caos; un corte vertical a r fijo se parece al diagrama de órbita. La punteada es r∞ ≈ 3,569945… (acumulación de las bifurcaciones). El crecimiento logístico continuo dN/dt es un pariente, pero otro objeto.

Fórmulas principales

xₙ₊₁ = r xₙ(1 − xₙ), 0 ≤ x ≤ 1

Preguntas frecuentes

¿Por qué en la región caótica la figura se ve «gruesa» o borrosa?: Las órbitas caóticas son sensibles a las condiciones iniciales y llenan un conjunto invariante de estructura rica. Muchas iteraciones dan una nube densa; un calentamiento corto deja colas que vienen de x₀.
¿Qué significa la línea punteada cerca de r ≈ 3,57?: Es el punto de acumulación aproximado r∞ de la cascada de duplicación de periodo: más allá, los ciclos de periodo 2ⁿ ya son inestables en conjunto y domina una dinámica más compleja, aunque dentro del caos quedan ventanas periódicas.
¿Es el mismo modelo que «Crecimiento logístico»?: Son parientes, pero objetos distintos: allá se integra la ecuación dN/dt = rN(1 − N/K). Aquí es un mapa discreto con una no linealidad parecida; justo ese mapa da las bifurcaciones y el caos.
¿Para qué cambiar los pasos de calentamiento y el número de iteraciones?: El calentamiento descarta el acercamiento al atractor; sin él se ven colas que vienen de x₀. Más iteraciones llenan el diagrama con más densidad, pero pesan más en el cálculo.

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