Por que o filtro de Savitzky–Golay conserva melhor os picos do que a média móvel?

A média móvel substitui o ponto pela média dos vizinhos e arredonda os traços agudos. Savitzky–Golay ajusta na janela um polinômio (muitas vezes uma parábola). Localmente o pico se parece com uma parábola, por isso altura e largura se conservam melhor, e o ruído se média.

O que acontece se o grau do polinômio não for menor que o tamanho da janela?

Para um ajuste unívoco de um polinômio de grau p são necessários pelo menos p+1 pontos. Se o grau é alto demais, os mínimos quadrados ficam instáveis e passam a copiar o ruído. Em geral o grau é bem menor que a largura da janela.

É preciso que as amostras sejam uniformes?

Sim. Os coeficientes clássicos da convolução foram calculados para um passo constante no argumento. O método não vale só para o cosseno: serve para qualquer série ruidosa uniforme.

Como se escolhem a janela e o grau?

Uma janela mais larga suprime mais o ruído, mas pode borrar um pico estreito. Um grau alto acompanha melhor as curvaturas, mas em excesso reproduz o ruído. O habitual é começar com grau 2 ou 3 e ajustar a janela ao detalhe mais estreito que se queira conservar.

Suavização de Savitzky–Golay

Cosseno ruidoso e convolução SG(7,2): o filtro polinomial conserva melhor os picos do que uma janela retangular larga.

Sobre o modelo

A suavização de Savitzky–Golay reduz o ruído e conserva a forma do sinal e a altura dos picos. Numa janela móvel os pontos são aproximados por um polinômio de grau baixo pelos mínimos quadrados; o valor suavizado é o do polinômio no centro da janela. Isso equivale a uma convolução: y_smooth[i] = Σ c_n y[i+n], em que os coeficientes c_n saem do ajuste polinomial. No gráfico há um cosseno ruidoso, o filtro SG(7,2) e uma média móvel de 7 pontos. A janela retangular achata mais os picos; um polinômio de segundo grau se aproxima localmente do lombo parabólico. As amostras são uniformes no argumento. O tamanho da janela e o grau do polinômio fixam o compromisso entre suprimir o ruído e conservar detalhes agudos.

Para quem: Processamento de sinais e espectros experimentais: suavização digital, convolução, conservação de picos.

Conceitos-chave

suavização de Savitzky–Golay
convolução
média móvel
mínimos quadrados
filtro digital
supressão de ruído
regressão polinomial
conservação de picos

Como funciona

Numa janela móvel o sinal é aproximado por um polinômio pelos mínimos quadrados; o resultado é uma convolução com coeficientes fixos. Para SG(7,2) a janela tem 7 pontos e o grau é 2. No gráfico o cosseno ruidoso se compara com SG(7,2) e com uma média móvel retangular: o filtro polinomial achata menos a altura dos picos.

Perguntas frequentes

Por que o filtro de Savitzky–Golay conserva melhor os picos do que a média móvel?: A média móvel substitui o ponto pela média dos vizinhos e arredonda os traços agudos. Savitzky–Golay ajusta na janela um polinômio (muitas vezes uma parábola). Localmente o pico se parece com uma parábola, por isso altura e largura se conservam melhor, e o ruído se média.
O que acontece se o grau do polinômio não for menor que o tamanho da janela?: Para um ajuste unívoco de um polinômio de grau p são necessários pelo menos p+1 pontos. Se o grau é alto demais, os mínimos quadrados ficam instáveis e passam a copiar o ruído. Em geral o grau é bem menor que a largura da janela.
É preciso que as amostras sejam uniformes?: Sim. Os coeficientes clássicos da convolução foram calculados para um passo constante no argumento. O método não vale só para o cosseno: serve para qualquer série ruidosa uniforme.
Como se escolhem a janela e o grau?: Uma janela mais larga suprime mais o ruído, mas pode borrar um pico estreito. Um grau alto acompanha melhor as curvaturas, mas em excesso reproduz o ruído. O habitual é começar com grau 2 ou 3 e ajustar a janela ao detalhe mais estreito que se queira conservar.

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