Por que a fórmula da esfera de Hill tem raiz cúbica?

A maré da estrela, que tenta arrancar o satélite, escala como a diferença de gravitação através da região do planeta, ~1/a³. O balanço com a gravidade própria do planeta (~1/r²) dá r³ ∝ a³ (m/M), daí a raiz de ordem três.

A fórmula vale para qualquer par de corpos?

A aproximação vale quando m ≪ M (planeta e estrela) e a órbita do secundário é circular. Para massas comparáveis (binário próximo) a ideia de esfera de influência se dilui, e os pontos de Lagrange saem das equações completas do movimento.

Qual é um exemplo de objeto perto da borda da esfera de Hill?

Os satélites irregulares externos de Júpiter (grupos de Carme e Ananke) orbitam perto da fronteira da esfera de Hill dele. As órbitas são alongadas e inclinadas; em geral se consideram asteroides capturados.

Esfera de Hill

Raio da esfera de Hill r_H ≈ a (m/3M)^{1/3}: região em que a gravitação do planeta vence a maré da estrela. Esquema da órbita e de r_H em função das massas e do semieixo maior.

Sobre o modelo

A esfera de Hill é a região em torno do corpo menor (o planeta) em que a gravitação dele predomina sobre a maré da estrela central. No problema restrito circular de três corpos o raio se estima pelos pontos de Lagrange L1 e L2: r_H ≈ a (m/(3M))^{1/3}, em que a é o semieixo maior da órbita do secundário e m e M são as massas do secundário e do corpo central. As órbitas são circulares e coplanares; perturbações de terceiros, não esfericidade e correções relativísticas ficam de fora. Os controles de massas e de a mostram que um planeta mais massivo ou mais distante retém satélites numa região maior. No longo prazo costumam ser estáveis as órbitas dentro de cerca de metade de r_H.

Para quem: Mecânica celeste na graduação; ensino médio em aprofundamento — gravitação e estabilidade de satélites.

Conceitos-chave

esfera de Hill
problema restrito de três corpos
pontos de Lagrange
semieixo maior
forças de maré
estabilidade de satélites

Como funciona

No esquema: o corpo central, o secundário na órbita de semieixo a e a circunferência de raio r_H ≈ a (m/(3M))^{1/3}. Ao variar as massas e a, vê-se crescer a região em que o planeta ainda segura um satélite. A aproximação vale para m ≪ M e órbita circular; é uma estimativa, não a integração das trajetórias.

Perguntas frequentes

A esfera de Hill coincide com o limite da órbita estável de uma lua?: Em primeira aproximação, sim. A maré da estrela em geral não arranca o satélite dentro da esfera de Hill. No longo prazo costumam ser estáveis as órbitas dentro de cerca de metade de r_H; na borda as perturbações são fortes e as órbitas muitas vezes caóticas.
Por que a fórmula da esfera de Hill tem raiz cúbica?: A maré da estrela, que tenta arrancar o satélite, escala como a diferença de gravitação através da região do planeta, ~1/a³. O balanço com a gravidade própria do planeta (~1/r²) dá r³ ∝ a³ (m/M), daí a raiz de ordem três.
A fórmula vale para qualquer par de corpos?: A aproximação vale quando m ≪ M (planeta e estrela) e a órbita do secundário é circular. Para massas comparáveis (binário próximo) a ideia de esfera de influência se dilui, e os pontos de Lagrange saem das equações completas do movimento.
Qual é um exemplo de objeto perto da borda da esfera de Hill?: Os satélites irregulares externos de Júpiter (grupos de Carme e Ananke) orbitam perto da fronteira da esfera de Hill dele. As órbitas são alongadas e inclinadas; em geral se consideram asteroides capturados.

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