Stimmt die Einflusssphäre mit der Grenze einer stabilen Mondbahn überein?

Näherungsweise. Die Gezeiten des Sterns reißen einen Satelliten innerhalb der Einflusssphäre in der Regel nicht los. Langfristig stabil sind meist Bahnen innerhalb von etwa der Hälfte von r_H; am Rand sind die Störungen stark, die Bahnen oft chaotisch.

Warum steht in der Formel der Einflusssphäre eine Kubikwurzel?

Die Gezeiten des Sterns, die den Satelliten losreißen wollen, skalieren wie die Differenz der Gravitation quer durch das Gebiet des Planeten, ~1/a³. Das Gleichgewicht mit der Eigengravitation des Planeten (~1/r²) liefert r³ ∝ a³ (m/M), daher die dritte Wurzel.

Darf man die Formel auf beliebige zwei Körper anwenden?

Die Näherung gilt für m ≪ M (Planet und Stern) und eine Kreisbahn des Nebenkörpers. Bei vergleichbaren Massen (enger Doppelstern) wird der Begriff der Einflusssphäre unscharf; die Lagrange-Punkte folgen aus den vollen Bewegungsgleichungen.

Welches Objekt liegt nahe am Rand einer Einflusssphäre?

Die äußeren irregulären Monde des Jupiter (Gruppen Carme, Ananke) laufen nahe der Grenze seiner Einflusssphäre. Die Bahnen sind gestreckt und geneigt; man hält sie oft für eingefangene Asteroiden.

Einflusssphäre

Radius der Einflusssphäre r_H ≈ a (m/3M)^{1/3}: Gebiet, in dem die Gravitation des Planeten die Gezeiten des Sterns überwiegt. Schema von Bahn und r_H nach Massen und großer Halbachse.

Zum Modell

Die Einflusssphäre (Hillsphäre) ist der Bereich um den leichteren Körper (einen Planeten), in dem seine Gravitation die Gezeiten des Zentralkörpers überwiegt. Im zirkularen eingeschränkten Dreikörperproblem schätzt man den Radius aus den Lagrange-Punkten L1 und L2: r_H ≈ a (m/(3M))^{1/3}, wobei a die große Halbachse der Bahn des Nebenkörpers ist, m und M die Massen von Nebenkörper und Zentralkörper. Die Bahnen sind kreisförmig und komplanar; Störungen dritter Körper, Abplattung und relativistische Korrekturen fehlen. Die Regler von Massen und a zeigen, dass ein massereicherer oder weiter entfernter Planet Satelliten in einem größeren Gebiet hält. Langfristig stabil sind in der Regel Bahnen innerhalb von etwa der Hälfte von r_H.

Für wen: Himmelsmechanik im Studium; Leistungskurs — Gravitation und Stabilität von Satelliten.

Wichtige Begriffe

einflusssphäre
hillsphäre
eingeschränktes dreikörperproblem
lagrange-punkte
große halbachse
gezeitenkräfte
satellitenstabilität

So funktioniert es

Im Schema: der Zentralkörper, der Nebenkörper auf einer Bahn der großen Halbachse a und ein Kreis vom Radius r_H ≈ a (m/(3M))^{1/3}. Ändert man Massen und a, wächst das Gebiet, in dem der Planet einen Satelliten halten kann. Die Näherung gilt für m ≪ M und eine Kreisbahn; das ist eine Abschätzung, keine Integration von Bahnen.

Häufige Fragen

Stimmt die Einflusssphäre mit der Grenze einer stabilen Mondbahn überein?: Näherungsweise. Die Gezeiten des Sterns reißen einen Satelliten innerhalb der Einflusssphäre in der Regel nicht los. Langfristig stabil sind meist Bahnen innerhalb von etwa der Hälfte von r_H; am Rand sind die Störungen stark, die Bahnen oft chaotisch.
Warum steht in der Formel der Einflusssphäre eine Kubikwurzel?: Die Gezeiten des Sterns, die den Satelliten losreißen wollen, skalieren wie die Differenz der Gravitation quer durch das Gebiet des Planeten, ~1/a³. Das Gleichgewicht mit der Eigengravitation des Planeten (~1/r²) liefert r³ ∝ a³ (m/M), daher die dritte Wurzel.
Darf man die Formel auf beliebige zwei Körper anwenden?: Die Näherung gilt für m ≪ M (Planet und Stern) und eine Kreisbahn des Nebenkörpers. Bei vergleichbaren Massen (enger Doppelstern) wird der Begriff der Einflusssphäre unscharf; die Lagrange-Punkte folgen aus den vollen Bewegungsgleichungen.
Welches Objekt liegt nahe am Rand einer Einflusssphäre?: Die äußeren irregulären Monde des Jupiter (Gruppen Carme, Ananke) laufen nahe der Grenze seiner Einflusssphäre. Die Bahnen sind gestreckt und geneigt; man hält sie oft für eingefangene Asteroiden.

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