Por que o limite de Roche depende das densidades?

A autogravitação do satélite cresce com a densidade dele: um satélite mais denso sobrevive mais perto do planeta. A densidade do planeta entra porque, à mesma massa, um corpo central mais denso é menor e produz um gradiente de maré mais íngreme a uma distância dada.

Satélites e anéis reais ficam exatamente no limite de Roche?

Não necessariamente. A fórmula é para um líquido sem resistência. Um satélite sólido (Fobos) pode orbitar um pouco por dentro do limite fluido. Os anéis de Saturno estão perto e por dentro do limite para o gelo: um corpo frouxo não se reuniria ali num satélite.

O que se vê se a órbita cruza o limite?

O satélite se estica e se rompe de forma esquemática. Assim, numa das hipóteses, formam-se os anéis planetários. Os fragmentos aqui são só uma nuvem, não a evolução até um anel fino.

De onde vem o coeficiente 2,456?

Do equilíbrio de um líquido incompressível no campo de maré: o corpo se deforma numa figura alongada, e a igualdade entre a força de maré e a autogravitação na superfície dá esse fator. Para uma esfera rígida o coeficiente é outro.

Limite de Roche

Para um líquido d ≈ 2,456 R_p (ρ_p/ρ_s)^(1/3); comparação com o raio da órbita.

Sobre o modelo

O limite de Roche é a distância abaixo da qual um satélite, unido só pela própria gravidade, se rompe pelas forças de maré do corpo central. O estiramento de maré cresce como ~1/r³; a autogravitação do satélite depende da densidade dele. Para um líquido incompressível d ≈ 2,456 R_p (ρ_p/ρ_s)^(1/3), em que R_p é o raio do planeta e ρ_p e ρ_s são as densidades médias do planeta e do satélite. O satélite é uma esfera líquida ideal, sem resistência do material; não entram a rotação, a excentricidade nem a rigidez. Variam-se R_p, as densidades e o raio da órbita; na tela comparam-se a órbita e d_Roche.

Para quem: Mecânica celeste e planetologia na graduação: forças de maré, anéis e satélites.

Conceitos-chave

limite de Roche
força de maré
energia de ligação gravitacional
corpo central
satélite
gravitação diferencial
ruptura por maré

Como funciona

Um satélite que só a autogravitação segura se rompe se a órbita está perto demais do planeta. Para um líquido o limite de Roche é d ≈ 2,456 R_p (ρ_p/ρ_s)^(1/3). Na tela: esquema do planeta, a circunferência do limite e o satélite; compara-se o raio da órbita com d_Roche. A resistência do material e a rotação do satélite não entram no coeficiente 2,456: um corpo rígido pode sobreviver mais perto.

Fórmulas principais

d_Roche ≈ 2,456 R_p (ρ_p / ρ_s)^(1/3)

Perguntas frequentes

Por que o limite de Roche depende das densidades?: A autogravitação do satélite cresce com a densidade dele: um satélite mais denso sobrevive mais perto do planeta. A densidade do planeta entra porque, à mesma massa, um corpo central mais denso é menor e produz um gradiente de maré mais íngreme a uma distância dada.
Satélites e anéis reais ficam exatamente no limite de Roche?: Não necessariamente. A fórmula é para um líquido sem resistência. Um satélite sólido (Fobos) pode orbitar um pouco por dentro do limite fluido. Os anéis de Saturno estão perto e por dentro do limite para o gelo: um corpo frouxo não se reuniria ali num satélite.
O que se vê se a órbita cruza o limite?: O satélite se estica e se rompe de forma esquemática. Assim, numa das hipóteses, formam-se os anéis planetários. Os fragmentos aqui são só uma nuvem, não a evolução até um anel fino.
De onde vem o coeficiente 2,456?: Do equilíbrio de um líquido incompressível no campo de maré: o corpo se deforma numa figura alongada, e a igualdade entre a força de maré e a autogravitação na superfície dá esse fator. Para uma esfera rígida o coeficiente é outro.

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