La sphère de Hill coïncide-t-elle avec la limite d’une orbite lunaire stable ?

Approximativement. La marée de l’étoile n’arrache en général pas un satellite à l’intérieur de la sphère de Hill. À long terme, les orbites stables se situent le plus souvent à l’intérieur d’environ la moitié de r_H ; près de la frontière, les perturbations sont fortes et les orbites souvent chaotiques.

Pourquoi y a-t-il une racine cubique dans la formule de la sphère de Hill ?

La marée de l’étoile, qui tend à arracher le satellite, varie comme la différence de gravitation à travers la région de la planète, ~1/a³. L’équilibre avec l’autogravité de la planète (~1/r²) donne r³ ∝ a³ (m/M), d’où la racine cubique.

Peut-on appliquer la formule à deux corps quelconques ?

L’approximation vaut pour m ≪ M (planète et étoile) et une orbite circulaire du secondaire. Pour des masses comparables (binaire serrée), la notion de sphère d’influence s’estompe ; les points de Lagrange se calculent à partir des équations du mouvement complètes.

Quel exemple d’objet près du bord de la sphère de Hill ?

Les satellites irréguliers externes de Jupiter (groupes de Carmé, d’Ananké) orbitent près de la frontière de sa sphère de Hill. Les orbites sont allongées et inclinées ; on les tient souvent pour des astéroïdes capturés.

Sphère de Hill

Rayon de la sphère de Hill r_H ≈ a (m/3M)^{1/3} : région où la gravitation de la planète l’emporte sur la marée de l’étoile. Schéma de l’orbite et de r_H selon les masses et le demi-grand axe.

À propos du modèle

La sphère de Hill est la région autour du corps secondaire (une planète) où sa gravitation domine la marée de l’astre central. Dans le problème circulaire restreint des trois corps, on estime le rayon à partir des points de Lagrange L1 et L2 : r_H ≈ a (m/(3M))^{1/3}, où a est le demi-grand axe de l’orbite du secondaire, m et M les masses du secondaire et du corps central. Les orbites sont circulaires et coplanaires ; les perturbations d’un troisième corps, la non-sphéricité et les corrections relativistes sont omises. Les curseurs de masses et de a montrent qu’une planète plus massive ou plus éloignée retient des satellites dans une plus grande région. À long terme, les orbites stables se situent en général à l’intérieur d’environ la moitié de r_H.

Public : Mécanique céleste de licence ; terminale approfondie — gravitation et stabilité des satellites.

Notions clés

sphère de Hill
problème restreint des trois corps
points de Lagrange
demi-grand axe
forces de marée
stabilité des satellites

Comment ça marche

Sur le schéma : le corps central, le secondaire sur une orbite de demi-grand axe a, et un cercle de rayon r_H ≈ a (m/(3M))^{1/3}. En changeant les masses et a, on voit grandir la région où la planète peut retenir un satellite. L’approximation vaut pour m << M et une orbite circulaire ; c’est une estimation, pas une intégration de trajectoires.

Questions fréquentes

La sphère de Hill coïncide-t-elle avec la limite d’une orbite lunaire stable ?: Approximativement. La marée de l’étoile n’arrache en général pas un satellite à l’intérieur de la sphère de Hill. À long terme, les orbites stables se situent le plus souvent à l’intérieur d’environ la moitié de r_H ; près de la frontière, les perturbations sont fortes et les orbites souvent chaotiques.
Pourquoi y a-t-il une racine cubique dans la formule de la sphère de Hill ?: La marée de l’étoile, qui tend à arracher le satellite, varie comme la différence de gravitation à travers la région de la planète, ~1/a³. L’équilibre avec l’autogravité de la planète (~1/r²) donne r³ ∝ a³ (m/M), d’où la racine cubique.
Peut-on appliquer la formule à deux corps quelconques ?: L’approximation vaut pour m ≪ M (planète et étoile) et une orbite circulaire du secondaire. Pour des masses comparables (binaire serrée), la notion de sphère d’influence s’estompe ; les points de Lagrange se calculent à partir des équations du mouvement complètes.
Quel exemple d’objet près du bord de la sphère de Hill ?: Les satellites irréguliers externes de Jupiter (groupes de Carmé, d’Ananké) orbitent près de la frontière de sa sphère de Hill. Les orbites sont allongées et inclinées ; on les tient souvent pour des astéroïdes capturés.

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