¿Por qué en la fórmula de la esfera de Hill aparece una raíz cúbica?

La marea de la estrella, que tiende a arrancar el satélite, escala como la diferencia de gravedad a lo ancho de la región del planeta, ~1/a³. El balance con la autogravedad del planeta (~1/r²) da r³ ∝ a³ (m/M); de ahí la raíz cúbica.

¿Se puede aplicar la fórmula a cualquier par de cuerpos?

La aproximación vale si m ≪ M (planeta y estrella) y la órbita del secundario es circular. Con masas comparables (binaria cerrada) la idea de esfera de influencia se diluye; los puntos de Lagrange se calculan con las ecuaciones de movimiento completas.

¿Qué ejemplo hay de un objeto cerca del borde de la esfera de Hill?

Los satélites irregulares externos de Júpiter (grupos de Carme y de Ananke) orbitan cerca del borde de su esfera de Hill. Las órbitas son alargadas e inclinadas; a menudo se los considera asteroides capturados.

Esfera de Hill

Radio de la esfera de Hill r_H ≈ a (m/3M)^{1/3}: región donde la gravedad del planeta vence a la marea de la estrella. Esquema de la órbita y de r_H según las masas y el semieje mayor.

Sobre el modelo

La esfera de Hill es la región en torno al cuerpo más pequeño (el planeta) donde su gravedad domina sobre la marea del astro central. En el problema circular restringido de tres cuerpos el radio se estima por los puntos de Lagrange L1 y L2: r_H ≈ a (m/(3M))^{1/3}, donde a es el semieje mayor de la órbita del secundario, y m y M son las masas del secundario y del central. Las órbitas son circulares y coplanares; no entran perturbaciones de terceros cuerpos, la no esfericidad ni correcciones relativistas. Los controles de masas y de a muestran que un planeta más masivo o más lejano retiene satélites en una región mayor. A largo plazo suelen ser estables las órbitas dentro de aproximadamente la mitad de r_H.

Para quién: Mecánica celeste de facultad; bachillerato avanzado — gravitación y estabilidad de satélites.

Conceptos clave

esfera de Hill
problema restringido de tres cuerpos
puntos de Lagrange
semieje mayor
fuerzas de marea
estabilidad de satélites

Cómo funciona

En el esquema: el cuerpo central, el secundario en una órbita de semieje mayor a y una circunferencia de radio r_H ≈ a (m/(3M))^{1/3}. Al cambiar las masas y a se ve cómo crece la región en la que el planeta puede retener un satélite. La aproximación vale si m ≪ M y la órbita es circular; es una estimación, no una integración de trayectorias.

Preguntas frecuentes

¿Coincide la esfera de Hill con el borde de una órbita lunar estable?: Aproximadamente. La marea de la estrella, por lo general, no arranca un satélite dentro de la esfera de Hill. A largo plazo suelen ser estables las órbitas dentro de aproximadamente la mitad de r_H; cerca del borde las perturbaciones son fuertes y las órbitas a menudo caóticas.
¿Por qué en la fórmula de la esfera de Hill aparece una raíz cúbica?: La marea de la estrella, que tiende a arrancar el satélite, escala como la diferencia de gravedad a lo ancho de la región del planeta, ~1/a³. El balance con la autogravedad del planeta (~1/r²) da r³ ∝ a³ (m/M); de ahí la raíz cúbica.
¿Se puede aplicar la fórmula a cualquier par de cuerpos?: La aproximación vale si m ≪ M (planeta y estrella) y la órbita del secundario es circular. Con masas comparables (binaria cerrada) la idea de esfera de influencia se diluye; los puntos de Lagrange se calculan con las ecuaciones de movimiento completas.
¿Qué ejemplo hay de un objeto cerca del borde de la esfera de Hill?: Los satélites irregulares externos de Júpiter (grupos de Carme y de Ananke) orbitan cerca del borde de su esfera de Hill. Las órbitas son alargadas e inclinadas; a menudo se los considera asteroides capturados.

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