O que é o diagrama de Minkowski?

É o gráfico dos eventos nas coordenadas (x, ct). A transformação de Lorentz mistura x e ct: as linhas de t′ constante (simultaneidade em S′) e de x′ constante (linhas de universo em repouso em S′) se inclinam pelo ângulo arctg(β) em direção às linhas nulas ct = ±x. Os raios de luz permanecem a 45° em qualquer referencial inercial. Num mesmo diagrama, a contração do comprimento e a dilatação do tempo viram geometria, não enigma.

O que significa o sinal do intervalo Δs²?

Com Δs² = (cΔt)² − (Δx)², valores positivos são do tipo tempo (há ordem causal possível), zero é do tipo luz, negativos são do tipo espaço (não há influência causal). Nos livros a assinatura às vezes muda (há o −+++); aqui o sinal de mais está na parte temporal. Não confunda o Δt coordenado com o tempo próprio ao longo da linha de universo.

Dois eventos podem ser simultâneos num referencial e não simultâneos noutro?

Sim — é a relatividade da simultaneidade. As linhas horizontais em S são t = const; em S′ as fatias de simultaneidade estão inclinadas. Eventos com o mesmo t′ em geral têm tempos de laboratório diferentes. O diagrama de Minkowski torna essa inclinação explícita quando se muda β.

Diagrama de Minkowski

Diagrama (x, ct): a transformação de Lorentz inclina os eixos (x′, ct′) em direção ao cone de luz; intervalo Δs² = (cΔt)² − (Δx)².

Transformação de Lorentz

β = v/c (de S para S′)0.5

Mostrar o cone de luzMostrar a grade de S′ (simultaneidade / linhas de universo em repouso)

O referencial do laboratório S tem o eixo x horizontal e o eixo ct vertical. A transformação para S′ com v = βc inclina os novos eixos para dentro pelo ângulo arctg(β); os dois se aproximam do cone de luz de 45°, a expressão geométrica da transformação de Lorentz. As linhas azul-claras são linhas de universo de x′ constante e fatias de simultaneidade de ct′ constante em S′ — mostram de relance a relatividade da simultaneidade. O segmento entre os eventos A e B fica verde/amarelo/vermelho conforme o intervalo seja do tipo tempo, luz ou espaço: (cΔt)² − Δx².

Grandezas medidas

γ1.1547

Δs²-4.6500

Δt (S)0.800

Δt' (S′)2.252

Sobre o modelo

Diagrama de Minkowski (x, ct): a transformação de Lorentz com velocidade v = βc inclina os eixos (x′, ct′) em direção ao cone de luz de 45° pelo ângulo arctg(β), de modo que a relatividade da simultaneidade, a dilatação do tempo e a contração do comprimento aparecem como geometria do espaço-tempo. Os eventos podem ser marcados com as teclas Shift e Alt; o intervalo invariante Δs² = (cΔt)² − (Δx)² classifica os pares em tipo tempo, tipo luz ou tipo espaço. Unidades naturais (no gráfico, c = 1). Hipóteses: espaço-tempo plano 1+1, sem gravidade, uma só transformação ao longo de x. Ao variar β, vê-se a inclinação dos eixos e os intervalos dos pares de eventos escolhidos.

Para quem: Graduação em relatividade especial e física matemática: geometria do espaço-tempo.

Conceitos-chave

diagrama de Minkowski
espaço-tempo
transformação de Lorentz
intervalo invariante
cone de luz
relatividade da simultaneidade

Como funciona

O diagrama de Minkowski é o plano dos eventos nas coordenadas (x, ct). A transformação de Lorentz inclina os eixos (x′, ct′) em direção ao cone de luz de 45° pelo ângulo arctg(β). O intervalo invariante Δs² = (cΔt)² − (Δx)² classifica o par de eventos em tipo tempo, tipo espaço ou tipo luz: o sinal do intervalo é o mesmo em todos os referenciais inerciais.

Perguntas frequentes

O que é o diagrama de Minkowski?: É o gráfico dos eventos nas coordenadas (x, ct). A transformação de Lorentz mistura x e ct: as linhas de t′ constante (simultaneidade em S′) e de x′ constante (linhas de universo em repouso em S′) se inclinam pelo ângulo arctg(β) em direção às linhas nulas ct = ±x. Os raios de luz permanecem a 45° em qualquer referencial inercial. Num mesmo diagrama, a contração do comprimento e a dilatação do tempo viram geometria, não enigma.
O que significa o sinal do intervalo Δs²?: Com Δs² = (cΔt)² − (Δx)², valores positivos são do tipo tempo (há ordem causal possível), zero é do tipo luz, negativos são do tipo espaço (não há influência causal). Nos livros a assinatura às vezes muda (há o −+++); aqui o sinal de mais está na parte temporal. Não confunda o Δt coordenado com o tempo próprio ao longo da linha de universo.
Dois eventos podem ser simultâneos num referencial e não simultâneos noutro?: Sim — é a relatividade da simultaneidade. As linhas horizontais em S são t = const; em S′ as fatias de simultaneidade estão inclinadas. Eventos com o mesmo t′ em geral têm tempos de laboratório diferentes. O diagrama de Minkowski torna essa inclinação explícita quando se muda β.

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