¿Qué es un diagrama de Minkowski?

Es una gráfica de eventos en coordenadas (x, ct). La transformación de Lorentz mezcla x y ct: las líneas de t′ constante (simultaneidad en S′) y de x′ constante (líneas de universo en reposo en S′) se inclinan un ángulo arctg(β) hacia las líneas nulas ct = ±x. Los rayos de luz siguen a 45° en cualquier sistema inercial. En un mismo diagrama, la contracción de la longitud y la dilatación del tiempo pasan a ser geometría, no un enigma.

¿Qué significa el signo del intervalo Δs²?

Con Δs² = (cΔt)² − (Δx)², los valores positivos son de tipo temporal (puede haber orden causal), el cero es de tipo luz y los negativos son de tipo espacial (no hay influencia causal). En los textos hay distintas signaturas (a veces −+++); aquí el signo más va en la parte temporal. No confunda el Δt coordenado con el tiempo propio a lo largo de una línea de universo.

¿Pueden dos eventos ser simultáneos en un sistema y no serlo en otro?

Sí: es la relatividad de la simultaneidad. Las horizontales en S son t = const; en S′ los cortes de simultaneidad están inclinados. Eventos con el mismo t′ suelen tener distinto tiempo de laboratorio. El diagrama de Minkowski hace explícita esa inclinación al cambiar β.

Diagrama de Minkowski

Diagrama (x, ct): la transformación de Lorentz inclina los ejes (x′, ct′) hacia el cono de luz; intervalo Δs² = (cΔt)² − (Δx)².

Transformación de Lorentz

β = v/c (de S a S′)0.5

Mostrar el cono de luzMostrar la cuadrícula S′ (simultaneidad / líneas en reposo)

El laboratorio S tiene eje x horizontal y ct vertical. Una transformación a S′ a v = βc inclina los ejes nuevos un ángulo arctg(β); ambos se acercan al cono de luz a 45°, la expresión geométrica de la transformación de Lorentz. Las líneas azul pálido son líneas de universo a x′ constante y cortes de simultaneidad a ct′ constante en S′: ahí se ve de un vistazo la relatividad de la simultaneidad. El segmento entre los eventos A y B se colorea verde, amarillo o rojo según el intervalo sea de tipo temporal, de luz o espacial: (cΔt)² − Δx².

Magnitudes medidas

γ1.1547

Δs²-4.6500

Δt (S)0.800

Δt' (S′)2.252

Sobre el modelo

Diagrama de Minkowski (x, ct): la transformación de Lorentz a velocidad v = βc inclina los ejes (x′, ct′) hacia el cono de luz a 45° un ángulo arctg(β), de modo que la relatividad de la simultaneidad, la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud se ven como geometría del espacio-tiempo. Los eventos se pueden colocar con Mayús y Alt; el intervalo invariante Δs² = (cΔt)² − (Δx)² clasifica los pares en tipo temporal, tipo luz o tipo espacial. Unidades naturales (en la gráfica c = 1). Hipótesis: espacio-tiempo plano 1+1, sin gravedad, un solo cambio de sistema a lo largo de x. Al cambiar β se ve la inclinación de los ejes y los intervalos de los pares elegidos.

Para quién: Relatividad especial y física matemática de facultad: geometría del espacio-tiempo.

Conceptos clave

diagrama de Minkowski
espacio-tiempo
transformación de Lorentz
intervalo invariante
cono de luz
relatividad de la simultaneidad

Cómo funciona

El diagrama de Minkowski es el plano de eventos en coordenadas (x, ct). La transformación de Lorentz inclina los ejes (x′, ct′) hacia el cono de luz a 45° un ángulo arctg(β). El intervalo invariante Δs² = (cΔt)² − (Δx)² clasifica un par de eventos en tipo temporal, tipo espacial o tipo luz: el signo del intervalo es el mismo en todos los sistemas inerciales.

Preguntas frecuentes

¿Qué es un diagrama de Minkowski?: Es una gráfica de eventos en coordenadas (x, ct). La transformación de Lorentz mezcla x y ct: las líneas de t′ constante (simultaneidad en S′) y de x′ constante (líneas de universo en reposo en S′) se inclinan un ángulo arctg(β) hacia las líneas nulas ct = ±x. Los rayos de luz siguen a 45° en cualquier sistema inercial. En un mismo diagrama, la contracción de la longitud y la dilatación del tiempo pasan a ser geometría, no un enigma.
¿Qué significa el signo del intervalo Δs²?: Con Δs² = (cΔt)² − (Δx)², los valores positivos son de tipo temporal (puede haber orden causal), el cero es de tipo luz y los negativos son de tipo espacial (no hay influencia causal). En los textos hay distintas signaturas (a veces −+++); aquí el signo más va en la parte temporal. No confunda el Δt coordenado con el tiempo propio a lo largo de una línea de universo.
¿Pueden dos eventos ser simultáneos en un sistema y no serlo en otro?: Sí: es la relatividad de la simultaneidad. Las horizontales en S son t = const; en S′ los cortes de simultaneidad están inclinados. Eventos con el mismo t′ suelen tener distinto tiempo de laboratorio. El diagrama de Minkowski hace explícita esa inclinación al cambiar β.

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