Qual efeito pesa mais nos satélites GPS: a velocidade ou a gravidade?

O gravitacional. Pelo potencial mais fraco na altitude, o relógio no satélite adianta. O efeito cinemático da relatividade especial o atrasa. A parcela gravitacional é cerca de duas vezes maior, e no total os relógios do satélite adiantam em relação aos da Terra.

Para que corrigir diferenças de tempo tão pequenas?

A posição sai do atraso dos sinais de vários satélites. A luz percorre cerca de 300 m em um microssegundo. Uma deriva não corrigida de dezenas de microssegundos por dia dá erro de distância em quilômetros — o sistema deixaria de servir à navegação.

Quão fiel é a estimativa para os satélites GPS reais?

A ordem de grandeza está certa: altitude cerca de 20 200 km. Ficam de fora a rotação da Terra (efeito Sagnac) e o achatamento, mas os termos de primeira ordem cobrem mais de 99% da correção relativística necessária.

A velocidade do satélite independe da altitude?

Não. Em órbita circular estável, v = √(GM/(R+h)). Os controles podem ser ajustados em separado, para separar os efeitos; na órbita real eles estão ligados.

GPS e relatividade

Deriva relativística dos relógios de bordo: correção de campo fraco da relatividade geral e correção cinemática da relatividade especial, a partir da altitude e da velocidade orbital.

Nas altitudes e velocidades da ordem da órbita terrestre média, como a do GPS, o ganho gravitacional e a perda da relatividade especial se compensam em parte; o efeito total é da ordem de dezenas de microssegundos por dia — a mesma ordem da soma grosseira dos dois termos no painel.

Sobre o modelo

GPS e relatividade: os relógios atômicos de bordo dos satélites GPS não andam como relógios idênticos na Terra — entram a dilatação do tempo da relatividade especial, pela velocidade orbital, e o deslocamento gravitacional de frequência da relatividade geral, pelo potencial mais fraco na altitude. Na aproximação de campo fraco o fator cinemático vale ≈ 1 − v²/(2c²) e o gravitacional ≈ 1 + ΔΦ/c², em que ΔΦ é a diferença dos potenciais newtonianos do satélite e da superfície. Em órbita circular a deriva total em relação ao solo é da ordem de +38 μs por dia: o ganho gravitacional supera a perda cinemática. As órbitas são circulares e a Terra não gira; achatamento, efeito Sagnac e a atração do Sol e da Lua ficam de fora. Os controles de altitude e de velocidade separam as contribuições; na órbita circular v = √(GM/(R+h)). Sem a correção, o erro de distância em um dia chega a quilômetros.

Para quem: Relatividade especial e geral na graduação; ensino médio em aprofundamento — física moderna e navegação.

Conceitos-chave

dilatação do tempo
relatividade especial
relatividade geral
potencial gravitacional
relógio atômico
sistema global de navegação

Como funciona

Os controles fixam a altitude e a velocidade orbital. A diferença de potencial em campo fraco adianta o relógio no satélite; o movimento na órbita o atrasa (relatividade especial). Mostram-se as estimativas diárias das duas correções e da soma. Nas altitudes de órbita terrestre média, como a do GPS, o termo gravitacional é maior e a deriva total fica em dezenas de microssegundos por dia. A Terra é esférica; não se usam efemérides.

Perguntas frequentes

Qual efeito pesa mais nos satélites GPS: a velocidade ou a gravidade?: O gravitacional. Pelo potencial mais fraco na altitude, o relógio no satélite adianta. O efeito cinemático da relatividade especial o atrasa. A parcela gravitacional é cerca de duas vezes maior, e no total os relógios do satélite adiantam em relação aos da Terra.
Para que corrigir diferenças de tempo tão pequenas?: A posição sai do atraso dos sinais de vários satélites. A luz percorre cerca de 300 m em um microssegundo. Uma deriva não corrigida de dezenas de microssegundos por dia dá erro de distância em quilômetros — o sistema deixaria de servir à navegação.
Quão fiel é a estimativa para os satélites GPS reais?: A ordem de grandeza está certa: altitude cerca de 20 200 km. Ficam de fora a rotação da Terra (efeito Sagnac) e o achatamento, mas os termos de primeira ordem cobrem mais de 99% da correção relativística necessária.
A velocidade do satélite independe da altitude?: Não. Em órbita circular estável, v = √(GM/(R+h)). Os controles podem ser ajustados em separado, para separar os efeitos; na órbita real eles estão ligados.

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