Por que a «quebra perto de 3000 K» não é universal?

O produto de Saha cresce com T, mas X vem da comparação desse produto com n_b. Uma n_b grande, em equilíbrio, desloca a transição para T maiores; na cosmologia ainda entram o transporte de radiação e as equações cinéticas além da equação de Saha.

Por que aqui g_p g_e / g_H = 2?

No estado fundamental do hidrogênio, g_H = 2 (spin); g_p = g_e = 2 para o próton e o elétron livres — a razão 2 é a escrita didática adotada nesta página.

Equação de Saha (recombinação do hidrogênio)

Para hidrogênio puro em equilíbrio, a equação de Saha fixa n_p n_e / n_H e a fração de ionização X(T). No gás rarefeito a transição fica perto de 3000 K.

Sobre o modelo

A equação de Saha descreve o equilíbrio de ionização do hidrogênio: H ⇌ p + e⁻. Para um gás ideal não degenerado, n_p n_e / n_H = (g_p g_e / g_H) (2π m_e k_B T / h²)^{3/2} exp(−χ_H / (k_B T)), em que χ_H é o potencial de ionização e g são os pesos estatísticos do estado fundamental. Com a densidade total de bárions n_b = n_H + n_p e a eletroneutralidade n_e = n_p, a fração de ionização X = n_p / n_b satisfaz X²/(1−X) = (n_p n_e / n_H) / n_b. A exponencial de Boltzmann dá um crescimento íngreme do produto das densidades na escala de milhares de kelvin; a quebra de X(T) desloca-se para T maiores quando n_b é grande, porque a recombinação pede n_p n_e / n_H ∼ n_b. A recombinação cósmica é cinética (esquema de Peebles) e não se reduz a uma só curva de Saha.

Para quem: Graduação em astrofísica após o gás ideal e a estrutura do átomo; cosmologia — recombinação do hidrogênio.

Conceitos-chave

equação de Saha
recombinação do hidrogênio
fração de ionização
fator de Boltzmann
densidade de bárions
potencial de ionização

Como funciona

Para H puro no equilíbrio de Saha: n_p n_e / n_H = (g_p g_e/g_H)(2π m_e k_B T/h²)^{3/2} exp(−χ_H/(k_B T)); com n_b = n_H + n_p e n_e = n_p, a fração de ionização X = n_p/n_b sai de X²/(1−X) = (n_p n_e / n_H)/n_b. O gráfico de log₁₀(n_p n_e / n_H) contra T mostra o crescimento íngreme de Boltzmann; a quebra de X(T) depende fortemente de n_b. A recombinação cósmica não é só Saha: a cinética de Peebles e o transporte de radiação não são resolvidos aqui.

Perguntas frequentes

Por que a «quebra perto de 3000 K» não é universal?: O produto de Saha cresce com T, mas X vem da comparação desse produto com n_b. Uma n_b grande, em equilíbrio, desloca a transição para T maiores; na cosmologia ainda entram o transporte de radiação e as equações cinéticas além da equação de Saha.
Por que aqui g_p g_e / g_H = 2?: No estado fundamental do hidrogênio, g_H = 2 (spin); g_p = g_e = 2 para o próton e o elétron livres — a razão 2 é a escrita didática adotada nesta página.

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