Warum ist der „Knick bei 3000 K“ nicht allgemein?

Das Saha-Produkt wächst mit T, aber X folgt aus dem Vergleich dieses Produkts mit n_b. Großes n_b schiebt den Übergang im Gleichgewicht zu höherem T; in der Kosmologie braucht man zusätzlich Strahlungstransport und kinetische Gleichungen über die Saha-Gleichung hinaus.

Warum gilt hier g_p g_e / g_H = 2?

Für den Grundzustand des Wasserstoffs ist g_H = 2 (Spin), g_p = g_e = 2 für freies Proton und Elektron — das Verhältnis 2 in der Lehrschreibweise dieser Seite.

Saha-Rekombination des Wasserstoffs

Für reinen Wasserstoff im Gleichgewicht setzt die Saha-Gleichung n_p n_e / n_H und den Ionisationsgrad X(T). Im verdünnten Gas liegt der Übergang bei etwa 3000 K.

Zum Modell

Die Saha-Rekombination des Wasserstoffs beschreibt das Ionisationsgleichgewicht: H ⇌ p + e⁻. Für ideales nichtentartetes Gas gilt n_p n_e / n_H = (g_p g_e / g_H) (2π m_e k_B T / h²)^{3/2} exp(−χ_H / (k_B T)), wobei χ_H die Ionisationsenergie und g die statistischen Gewichte des Grundzustands sind. Bei der gesamten Baryonendichte n_b = n_H + n_p und Neutralität n_e = n_p erfüllt der Ionisationsgrad X = n_p / n_b die Beziehung X²/(1−X) = (n_p n_e / n_H) / n_b. Die Boltzmann-Exponentialfunktion gibt einen steilen Anstieg des Dichteprodukts auf der Skala von Tausenden Kelvin; der Knick in X(T) wandert bei großem n_b zu höherem T, weil zur Rekombination n_p n_e / n_H ∼ n_b nötig ist. Die kosmische Rekombination ist kinetisch (Peebles-Schema) und nicht auf eine einzige Saha-Kurve reduzierbar.

Für wen: Astrophysik im Studium nach idealem Gas und Atombau; Kosmologie — Rekombination des Wasserstoffs.

Wichtige Begriffe

saha-gleichung
rekombination des wasserstoffs
ionisationsgrad
boltzmann-faktor
baryonendichte
ionisationsenergie

So funktioniert es

Für reines H im Saha-Gleichgewicht: n_p n_e / n_H = (g_p g_e/g_H)(2π m_e k_B T/h²)^{3/2} exp(−χ_H/(k_B T)); bei n_b = n_H + n_p und n_e = n_p folgt der Ionisationsgrad X = n_p/n_b aus X²/(1−X) = (n_p n_e / n_H)/n_b. Der Graph log₁₀(n_p n_e / n_H) gegen T zeigt den steilen Boltzmann-Anstieg; der Knick von X(T) hängt stark von n_b ab. Kosmische Rekombination ist mehr als Saha: Peebles-Kinetik und Strahlungstransport werden hier nicht gelöst.

Häufige Fragen

Warum ist der „Knick bei 3000 K“ nicht allgemein?: Das Saha-Produkt wächst mit T, aber X folgt aus dem Vergleich dieses Produkts mit n_b. Großes n_b schiebt den Übergang im Gleichgewicht zu höherem T; in der Kosmologie braucht man zusätzlich Strahlungstransport und kinetische Gleichungen über die Saha-Gleichung hinaus.
Warum gilt hier g_p g_e / g_H = 2?: Für den Grundzustand des Wasserstoffs ist g_H = 2 (Spin), g_p = g_e = 2 für freies Proton und Elektron — das Verhältnis 2 in der Lehrschreibweise dieser Seite.

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