Pourquoi le « coude vers 3000 K » n’est-il pas universel ?

Le produit de Saha croît avec T, mais X est fixé par la comparaison de ce produit à n_b. Une grande n_b, à l’équilibre, décale la transition vers les grands T ; en cosmologie il faut encore le transfert de rayonnement et les équations cinétiques, au-delà de la formule de Saha.

Pourquoi a-t-on ici g_p g_e / g_H = 2 ?

Pour l’état fondamental de l’hydrogène, g_H = 2 (spin), g_p = g_e = 2 pour le proton et l’électron libres — le rapport vaut 2 dans l’écriture pédagogique retenue sur la page.

La recombinaison cosmique suit-elle uniquement Saha ?

Non. La recombinaison de l’Univers est cinétique : schéma de Peebles et transfert de rayonnement. Ici on ne résout que l’équilibre de Saha pour l’hydrogène pur ; ce n’est pas l’histoire thermique complète.

Formule de Saha (recombinaison de l’hydrogène)

Pour l’hydrogène pur à l’équilibre, la formule de Saha fixe n_p n_e / n_H et la fraction d’ionisation X(T). Dans un gaz raréfié, la transition se situe vers 3000 K.

À propos du modèle

La formule de Saha décrit l’équilibre d’ionisation de l’hydrogène : H ⇌ p + e⁻. Pour un gaz parfait non dégénéré, n_p n_e / n_H = (g_p g_e / g_H) (2π m_e k_B T / h²)^{3/2} exp(−χ_H / (k_B T)), où χ_H est le potentiel d’ionisation et les g sont les poids statistiques de l’état fondamental. Avec la densité baryonique totale n_b = n_H + n_p et la neutralité électrique n_e = n_p, la fraction d’ionisation X = n_p / n_b vérifie X²/(1−X) = (n_p n_e / n_H) / n_b. L’exponentielle de Boltzmann donne une croissance raide du produit des densités sur une échelle de quelques milliers de kelvins ; le coude de X(T) se décale vers les grands T lorsque n_b est grand, car la recombinaison exige n_p n_e / n_H ∼ n_b. La recombinaison cosmique est cinétique (schéma de Peebles) et ne se réduit pas à une seule courbe de Saha.

Public : Astrophysique de licence après le gaz parfait et la structure de l’atome ; cosmologie — recombinaison de l’hydrogène.

Notions clés

formule de Saha
recombinaison de l’hydrogène
fraction d’ionisation
facteur de Boltzmann
densité baryonique
potentiel d’ionisation

Comment ça marche

Pour H pur à l’équilibre de Saha : n_p n_e / n_H = (g_p g_e/g_H)(2π m_e k_B T/h²)^{3/2} exp(−χ_H/(k_B T)) ; avec n_b = n_H + n_p et n_e = n_p, la fraction d’ionisation X = n_p/n_b vient de X²/(1−X) = (n_p n_e / n_H)/n_b. Le graphique de log₁₀(n_p n_e / n_H) en fonction de T montre la croissance raide de Boltzmann ; le coude de X(T) dépend fortement de n_b. La recombinaison cosmique n’est pas que Saha : la cinétique de Peebles et le transfert de rayonnement ne sont pas résolus ici.

Questions fréquentes

Pourquoi le « coude vers 3000 K » n’est-il pas universel ?: Le produit de Saha croît avec T, mais X est fixé par la comparaison de ce produit à n_b. Une grande n_b, à l’équilibre, décale la transition vers les grands T ; en cosmologie il faut encore le transfert de rayonnement et les équations cinétiques, au-delà de la formule de Saha.
Pourquoi a-t-on ici g_p g_e / g_H = 2 ?: Pour l’état fondamental de l’hydrogène, g_H = 2 (spin), g_p = g_e = 2 pour le proton et l’électron libres — le rapport vaut 2 dans l’écriture pédagogique retenue sur la page.
La recombinaison cosmique suit-elle uniquement Saha ?: Non. La recombinaison de l’Univers est cinétique : schéma de Peebles et transfert de rayonnement. Ici on ne résout que l’équilibre de Saha pour l’hydrogène pur ; ce n’est pas l’histoire thermique complète.

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