Для чистого водорода в термодинамическом равновесии, H ⇌ p + e⁻, уравнение Саха задаёт n_p n_e / n_H = (g_p g_e / g_H) (2π m_e k_B T / h²)^{3/2} exp(−χ_H / (k_B T)) в СИ (размерность числовой плотности) для идеального недегенерированного плазменного приближения (факторы g для основного состояния). При полной плотности барионовn_b = n_H + n_p и электронейтральностиn_e = n_pдоля ионизацииX = n_p / n_b удовлетворяет X²/(1−X) = (n_p n_e / n_H) / n_b. Болтмановский экспонента даёт крутой рост n_p n_e / n_H на шкале тысяч кельвинов; излом на кривой X(T) смещается к большим T при большом n_b, потому что для рекомбинации нужно (n_p n_e / n_H) ~ n_b. Реальная космическая рекомбинация кинетическая (модель Пиблза) и не сводится к одной саховской кривой.
Для кого: Вводная астрофизика после идеального газа и строения атома; дополняет страницы FLRW и обзора по реликтовому излучению.
Ключевые понятия
уравнение Саха
рекомбинация водорода
доля ионизации
болтмановский множитель
плотность барионов
Как это работает
Для чистого H в равновесии Саха: n_p n_e / n_H = (g_p g_e/g_H)(2π m_e k_B T/h²)^{3/2} exp(−χ_H/(k_B T)); при n_b = n_H + n_p и n_e = n_p доля ионизации X = n_p/n_b из X²/(1−X) = (n_p n_e / n_H)/n_b. График log₁₀(n_p n_e / n_H) vs T показывает крутой болтмановский рост; излом X(T) сильно зависит от n_b. Реальная космическая рекомбинация — не только Саха (кинетика Пиблза, перенос излучения).
Часто задаваемые вопросы
Почему «излом около 3000 K» не универсален?
Произведение Саха растёт с T, но X определяется сравнением этого произведения с n_b. Большая n_b в равновесии сдвигает переход к большим T; в космологии ещё нужны перенос излучения и кинетические уравнения сверх Саха.
Почему здесь g_p g_e / g_H = 2?
Для основного водорода g_H = 2 (спин), g_p = g_e = 2 для свободного протона и электрона, что даёт отношение 2 в учебной конвенции, используемой на странице.