Pourquoi n’y a-t-il pas de champ h ?

La règle de liaisons montrée est le cas classique de champ nul. Si h ≠ 0, il faut des spins « fantômes » ou des liaisons généralisées ; on a gardé ici le cadre pédagogique simple.

En quoi Wolff diffère-t-il de Swendsen–Wang ?

Dans l’algorithme de Swendsen–Wang, on retourne, à partir d’une même configuration de liaisons, tous les amas obtenus ; Wolff fait croître un seul amas depuis un germe aléatoire — plus simple à visualiser, avec la même probabilité de liaison.

Un pas de Wolff, est-ce un « balayage » du réseau ?

Non : chez Metropolis, un balayage, ce sont O(N) tentatives de retournement ; chez Wolff, on retourne à chaque pas un amas aléatoire, dont la taille moyenne dépend fortement de T.

Modèle d’Ising : algorithme de Wolff

Ising ferromagnétique sur un tore (h = 0) : gel des liaisons parallèles avec la probabilité 1 − e^(−2βJ), retournement d’un amas d’un seul signe — plus rapide que Metropolis près de T_c.

À propos du modèle

Le modèle d’Ising ferromagnétique, mis à jour par l’algorithme de Wolff sur un tore à champ nul h = 0 : un amas par pas. Les spins voisins parallèles sont « gelés » avec la probabilité p = 1 − e^(−2βJ) ; puis l’amas entier est retourné. Cette mise à jour non locale atténue le ralentissement critique par rapport à l’algorithme de Metropolis spin par spin (même famille de liaisons que Swendsen–Wang). Sur le réseau, on met en évidence le dernier amas retourné ; on suit |m|, l’énergie par spin et T/T_c (kT_c/J d’Onsager). C’est un échantillonneur pédagogique, pas un calcul d’effets de taille finie.

Public : Physique statistique de licence : modèle d’Ising après Metropolis, Monte-Carlo par amas près du point de Curie.

Notions clés

algorithme de Wolff
modèle d’Ising
Monte-Carlo par amas
Swendsen–Wang
ralentissement critique
température d’Onsager

Comment ça marche

Tore 48×48, h = 0 : les liaisons parallèles sont « gelées » avec p = 1 − e^(−2βJ) ; on fait croître un amas du même signe et on le retourne — algorithme de Wolff. Curseurs kT/J et nombre de constructions par image ; |m|, E/(JN), T/T_c, taille du dernier amas ; teinte dorée — dernier amas.

Formules

Bond-freezing probability p_f = 1 - exp(-2βJ) (here J = 1); grow a same-spin cluster and flip all its spins. At h = 0 this satisfies detailed balance for the Ising Boltzmann weight.

Questions fréquentes

Pourquoi n’y a-t-il pas de champ h ?: La règle de liaisons montrée est le cas classique de champ nul. Si h ≠ 0, il faut des spins « fantômes » ou des liaisons généralisées ; on a gardé ici le cadre pédagogique simple.
En quoi Wolff diffère-t-il de Swendsen–Wang ?: Dans l’algorithme de Swendsen–Wang, on retourne, à partir d’une même configuration de liaisons, tous les amas obtenus ; Wolff fait croître un seul amas depuis un germe aléatoire — plus simple à visualiser, avec la même probabilité de liaison.
Un pas de Wolff, est-ce un « balayage » du réseau ?: Non : chez Metropolis, un balayage, ce sont O(N) tentatives de retournement ; chez Wolff, on retourne à chaque pas un amas aléatoire, dont la taille moyenne dépend fortement de T.

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