¿Por qué el movimiento es caótico?

El sistema es no lineal y tiene dos grados de libertad con acoplamiento fuerte. A amplitudes grandes, trayectorias cercanas en el espacio de fases se apartan rápido: se pierde el pronóstico a largo plazo a partir de los ángulos iniciales.

¿Por qué la energía total E se desplaza aunque el amortiguamiento sea cero?

El método de Runge–Kutta de cuarto orden no es simpléctico. El error de paso cambia poco a poco el hamiltoniano numérico, así que ΔE puede crecer aunque el modelo continuo conserve la energía. Un paso más corto reduce el arrastre.

¿En qué se diferencian los ángulos pequeños del caos?

A ángulos pequeños las ecuaciones se linealizan en oscilaciones armónicas acopladas y el movimiento es casi periódico (plantilla «Ángulos pequeños»). A ángulos grandes queda el acoplamiento no lineal completo y las trayectorias suelen ser irregulares (plantilla «Caos clásico»).

¿La separación de los dos extremos es el exponente de Lyapunov?

No. El modo de comparación integra una segunda copia con θ₁ desplazado 0,1° y muestra la distancia entre las masas inferiores. Es una imagen de la sensibilidad. El exponente λ pediría la rapidez logarítmica normalizada del crecimiento de perturbaciones infinitesimales.

Péndulo doble

Dos péndulos acoplados: movimiento caótico y traza de la masa inferior.

Gráficas

Sobre el modelo

El péndulo doble —dos masas puntuales en varillas sin peso— es el ejemplo clásico de sistema caótico. Los ángulos θ₁, θ₂ se miden desde la vertical hacia abajo; las ecuaciones no lineales acopladas de θ̈₁ y θ̈₂ (forma usual con δ = θ₁ − θ₂) se integran con el método de Runge–Kutta de cuarto orden. La energía mecánica E = T + V: la cinética, por las velocidades de los extremos de las varillas; V = −m₁gL₁ cos θ₁ − m₂g(L₁ cos θ₁ + L₂ cos θ₂). Un amortiguamiento angular opcional multiplica ω después de cada paso. Una segunda trayectoria con θ₁ desplazado 0,1° muestra cómo se apartan los extremos: eso no es el exponente de Lyapunov λ.

Para quién: Bachillerato avanzado y primeros semestres: oscilaciones no lineales, caos, sensibilidad a las condiciones iniciales.

Conceptos clave

péndulo doble
caos
oscilaciones acopladas
espacio de fases
no linealidad
sensibilidad a las condiciones iniciales

Cómo funciona

Dos masas puntuales en varillas sin peso: el sistema caótico clásico. Ángulos iniciales cercanos se apartan rápido. Las ecuaciones se integran con Runge–Kutta de cuarto orden; un amortiguamiento angular opcional disipa energía (no estabiliza el esquema numérico). La distancia entre las masas inferiores en la segunda corrida no es el exponente de Lyapunov.

Fórmulas principales

δ = θ₁ − θ₂, den = 2m₁ + m₂ − m₂ cos(2δ): θ¨₁ = [−g(2m₁+m₂)sin θ₁ − m₂ g sin(θ₁−2θ₂) − 2 sin δ · m₂(ω₂² L₂ + ω₁² L₁ cos δ)] / (L₁ den); θ¨₂ = [2 sin δ · (ω₁² L₁(m₁+m₂) + g(m₁+m₂)cos θ₁ + ω₂² L₂ m₂ cos δ)] / (L₂ den). Ángulos desde la vertical hacia abajo.

E = T + V: T por las velocidades de los extremos de las varillas; V = −m₁gL₁ cos θ₁ − m₂g(L₁ cos θ₁ + L₂ cos θ₂) (+ const). Amortiguamiento: ω ← ω e^(−γ Δt) después de cada paso RK4.

Preguntas frecuentes

¿Por qué el movimiento es caótico?: El sistema es no lineal y tiene dos grados de libertad con acoplamiento fuerte. A amplitudes grandes, trayectorias cercanas en el espacio de fases se apartan rápido: se pierde el pronóstico a largo plazo a partir de los ángulos iniciales.
¿Por qué la energía total E se desplaza aunque el amortiguamiento sea cero?: El método de Runge–Kutta de cuarto orden no es simpléctico. El error de paso cambia poco a poco el hamiltoniano numérico, así que ΔE puede crecer aunque el modelo continuo conserve la energía. Un paso más corto reduce el arrastre.
¿En qué se diferencian los ángulos pequeños del caos?: A ángulos pequeños las ecuaciones se linealizan en oscilaciones armónicas acopladas y el movimiento es casi periódico (plantilla «Ángulos pequeños»). A ángulos grandes queda el acoplamiento no lineal completo y las trayectorias suelen ser irregulares (plantilla «Caos clásico»).
¿La separación de los dos extremos es el exponente de Lyapunov?: No. El modo de comparación integra una segunda copia con θ₁ desplazado 0,1° y muestra la distancia entre las masas inferiores. Es una imagen de la sensibilidad. El exponente λ pediría la rapidez logarítmica normalizada del crecimiento de perturbaciones infinitesimales.

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