¿Qué es la distribución estacionaria?

Es una distribución π para la cual πP = π: tras un paso las probabilidades no cambian. Si la cadena es ergódica, las transiciones repetidas convergen a π desde cualquier estado inicial.

¿Por qué importa la brecha espectral?

El segundo autovalor en módulo fija qué tan rápido decaen los modos transitorios. Una brecha grande suele significar mezcla rápida y una distancia de variación total ya pequeña a los pocos pasos.

¿Qué es el balance detallado?

La condición π_i P_{ij} = π_j P_{ji}: los flujos de probabilidad entre cada par de estados se compensan. Garantiza que π sea estacionaria y se usa a menudo al construir MCMC.

Mezcla de una cadena de Markov

Cadena de tres estados: matriz de transición, distribución estacionaria, distancia de variación total, balance detallado y brecha espectral.

Las autotransiciones atrasan la mezcla; el sesgo direccional puede romper el balance detallado y, aun así, conservar la distribución estacionaria.

Gráficas

Sobre el modelo

Una cadena de Markov actualiza la distribución de probabilidad con la regla p_{t+1} = p_t P. En una cadena ergódica las transiciones repetidas convergen a la distribución estacionaria π, πP = π, desde cualquier estado inicial. En la cadena de tres estados se ven las probabilidades actuales, la distancia de variación total hasta π, el criterio de balance detallado y una estimación de la brecha espectral, que fija la velocidad de mezcla. Una brecha grande suele significar un decaimiento rápido de los modos transitorios.

Para quién: Probabilidad y procesos aleatorios: cadenas de Markov, MCMC.

Conceptos clave

cadena de Markov
matriz de transición
distribución estacionaria
tiempo de mezcla
balance detallado
brecha espectral

Cómo funciona

La cadena de Markov actualiza la distribución con la regla p_{t+1}=p_tP. La distribución estacionaria π cumple πP=π; si la cadena es ergódica, la distribución actual se acerca poco a poco a π. La distancia de variación total muestra la diferencia que queda; el balance detallado comprueba el flujo reversible π_iP_ij≈π_jP_ji; la brecha espectral controla la velocidad de decaimiento de los modos transitorios.

Fórmulas principales

p_{t+1}=p_t P, πP=π

La velocidad de mezcla la fijan los autovalores; una brecha espectral mayor implica convergencia más rápida

Preguntas frecuentes

¿Qué es la distribución estacionaria?: Es una distribución π para la cual πP = π: tras un paso las probabilidades no cambian. Si la cadena es ergódica, las transiciones repetidas convergen a π desde cualquier estado inicial.
¿Por qué importa la brecha espectral?: El segundo autovalor en módulo fija qué tan rápido decaen los modos transitorios. Una brecha grande suele significar mezcla rápida y una distancia de variación total ya pequeña a los pocos pasos.
¿Qué es el balance detallado?: La condición π_i P_{ij} = π_j P_{ji}: los flujos de probabilidad entre cada par de estados se compensan. Garantiza que π sea estacionaria y se usa a menudo al construir MCMC.

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