O que é a distribuição estacionária?

É uma distribuição π para a qual πP = π: depois de um passo as probabilidades não mudam. Se a cadeia é ergódica, as transições repetidas convergem a π a partir de qualquer estado inicial.

Por que o gap espectral importa?

O segundo autovalor em módulo fixa quão depressa decaem os modos transitórios. Um gap grande costuma significar mistura rápida e distância de variação total já pequena em poucos passos.

O que é o balanço detalhado?

A condição π_i P_{ij} = π_j P_{ji}: os fluxos de probabilidade entre cada par de estados se compensam. Ela garante que π seja estacionária e aparece com frequência na construção de MCMC.

Mistura de uma cadeia de Markov

Cadeia de três estados: matriz de transição, distribuição estacionária, distância de variação total, balanço detalhado e gap espectral.

As autotransições atrasam a mistura; o viés direcional pode romper o balanço detalhado e, ainda assim, conservar a distribuição estacionária.

Gráficos

Sobre o modelo

A mistura de uma cadeia de Markov é a convergência da distribuição de probabilidade à estacionária sob a regra p_{t+1} = p_t P. Numa cadeia ergódica as transições repetidas convergem à distribuição estacionária π, πP = π, a partir de qualquer estado inicial. Na cadeia de três estados veem-se as probabilidades atuais, a distância de variação total até π, o critério de balanço detalhado e uma estimativa do gap espectral, que fixa a velocidade de mistura. Um gap grande costuma significar decaimento rápido dos modos transitórios.

Para quem: Probabilidade e processos estocásticos: cadeias de Markov, MCMC.

Conceitos-chave

cadeia de Markov
matriz de transição
distribuição estacionária
tempo de mistura
balanço detalhado
gap espectral

Como funciona

A cadeia de Markov atualiza a distribuição pela regra p_{t+1}=p_tP. A distribuição estacionária π cumpre πP=π; se a cadeia é ergódica, a distribuição atual aproxima-se aos poucos de π. A distância de variação total mostra a diferença que resta; o balanço detalhado verifica o fluxo reversível π_iP_ij≈π_jP_ji; o gap espectral controla a velocidade de decaimento dos modos transitórios.

Fórmulas principais

p_{t+1}=p_t P, πP=π

A velocidade de mistura é dada pelos autovalores; um gap espectral maior implica convergência mais rápida

Perguntas frequentes

O que é a distribuição estacionária?: É uma distribuição π para a qual πP = π: depois de um passo as probabilidades não mudam. Se a cadeia é ergódica, as transições repetidas convergem a π a partir de qualquer estado inicial.
Por que o gap espectral importa?: O segundo autovalor em módulo fixa quão depressa decaem os modos transitórios. Um gap grande costuma significar mistura rápida e distância de variação total já pequena em poucos passos.
O que é o balanço detalhado?: A condição π_i P_{ij} = π_j P_{ji}: os fluxos de probabilidade entre cada par de estados se compensam. Ela garante que π seja estacionária e aparece com frequência na construção de MCMC.

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