La région violette est-elle prouvée chaotique ?

Non. C’est un indicateur de séparation en temps fini, non un exposant de Lyapunov rigoureux. Il signale seulement une dépendance sensible aux conditions initiales.

Pourquoi la vitesse initiale est-elle nulle ?

Ainsi l’on balaie les positions initiales de façon simple et reproductible. Une autre vitesse initiale donnerait une autre carte.

Problème restreint des trois corps (carte)

Problème circulaire restreint : échappement, collision et indicateur de chaos ; paramètre μ.

À propos du modèle

Dans le problème circulaire restreint des trois corps, une particule de masse nulle se meut dans le référentiel tournant de deux corps massifs en orbites circulaires. Le potentiel efficace réunit les termes gravitationnels et centrifuges ; les forces de Coriolis apparaissent dans les équations du mouvement. On intègre de nombreuses conditions initiales à vitesse nulle dans ce référentiel : collision avec l’un des corps, départ à grand rayon ou mouvement lié. Une trajectoire-ombre, décalée d’un petit écart initial, estime la sensibilité aux conditions initiales — indicateur qualitatif des zones chaotiques, aux frontières de bassins d’allure fractale. Ce n’est ni un exposant de Lyapunov rigoureux, ni une section de Poincaré.

Public : Mécanique céleste de licence, après les points de Lagrange ; avant les sections de Poincaré.

Notions clés

problème restreint des trois corps
référentiel tournant
intégrale de Jacobi
chaos
frontières des bassins
force de Coriolis

Comment ça marche

Dans le problème circulaire restreint des trois corps, une particule d’essai de masse nulle se meut dans le référentiel tournant de deux corps massifs en orbites circulaires. Chaque cellule de la grille part à vitesse nulle dans ce référentiel ; l’intégration montre collision, échappement ou mouvement lié sur un horizon fini. Une trajectoire-ombre voisine estime l’écart — indicateur qualitatif de sensibilité, non un exposant de Lyapunov rigoureux. Les frontières des bassins peuvent être d’une complexité fractale.

Formules

U = −(1−μ)/r₁ − μ/r₂ − ½r² · ẍ = −∂U/∂x + 2ẏ

Questions fréquentes

La région violette est-elle prouvée chaotique ?: Non. C’est un indicateur de séparation en temps fini, non un exposant de Lyapunov rigoureux. Il signale seulement une dépendance sensible aux conditions initiales.
Pourquoi la vitesse initiale est-elle nulle ?: Ainsi l’on balaie les positions initiales de façon simple et reproductible. Une autre vitesse initiale donnerait une autre carte.

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