Ist das violette Gebiet bewiesen chaotisch?

Nein. Es ist ein Indikator der Bahntrennung in endlicher Zeit, kein strenger Lyapunov-Exponent. Er zeigt nur die empfindliche Abhängigkeit von den Anfangswerten.

Warum ist die Anfangsgeschwindigkeit null?

So lässt sich das Anfangsgitter bequem und wiederholbar überstreichen. Eine andere Anfangsgeschwindigkeit gäbe eine andere Karte.

Eingeschränktes Dreikörperproblem

Zirkulares eingeschränktes Problem: Entweichen, Kollision und Chaos-Indikator; Parameter μ.

Zum Modell

Das eingeschränkte Dreikörperproblem in der zirkularen Fassung: ein Teilchen der Masse null bewegt sich im mitrotierenden Bezugssystem zweier schwerer Körper auf Kreisbahnen. Das effektive Potential enthält gravitative und zentrifugale Anteile; in den Bewegungsgleichungen erscheinen Coriolis-Kräfte. Integriert werden viele Anfangsbedingungen mit Geschwindigkeit null im mitrotierenden System: Kollision mit einem der Körper, Entweichen in großen Abstand oder gebundene Bewegung. Eine Schattenbahn mit kleiner Anfangsverschiebung schätzt die Empfindlichkeit gegen die Anfangswerte — ein qualitativer Indikator chaotischer Gebiete mit fraktalartigen Grenzen der Einzugsgebiete. Das ist kein strenger Lyapunov-Exponent und kein Poincaré-Schnitt.

Für wen: Himmelsmechanik im Studium, nach den Lagrange-Punkten; vor Poincaré-Schnitten.

Wichtige Begriffe

eingeschränktes dreikörperproblem
mitrotierendes bezugssystem
jacobi-integral
chaos
grenzen der einzugsgebiete
coriolis-kraft

So funktioniert es

Im zirkularen eingeschränkten Dreikörperproblem bewegt sich ein masseloses Testteilchen im mitrotierenden System zweier schwerer Körper auf Kreisbahnen. Jede Gitterzelle startet mit Geschwindigkeit null in diesem System; die Integration zeigt Kollision, Entweichen oder gebundene Bewegung auf einem endlichen Horizont. Eine nahe Schattenbahn schätzt die Divergenz — qualitativer Empfindlichkeitsindikator, kein strenger Lyapunov-Exponent. Die Grenzen der Einzugsgebiete können fraktal verwickelt sein.

Wichtige Gleichungen

U = −(1−μ)/r₁ − μ/r₂ − ½r² · ẍ = −∂U/∂x + 2ẏ

Häufige Fragen

Ist das violette Gebiet bewiesen chaotisch?: Nein. Es ist ein Indikator der Bahntrennung in endlicher Zeit, kein strenger Lyapunov-Exponent. Er zeigt nur die empfindliche Abhängigkeit von den Anfangswerten.
Warum ist die Anfangsgeschwindigkeit null?: So lässt sich das Anfangsgitter bequem und wiederholbar überstreichen. Eine andere Anfangsgeschwindigkeit gäbe eine andere Karte.

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