¿Por qué |Ψ|² oscila y ⟨E⟩ no cambia?

Los estados n = 1 y n = 2 acumulan fase distinta, y el término de interferencia en |Ψ|² oscila. Los pesos |c₁|² y |c₂|² son constantes, así que el promedio de la energía —suma ponderada de E₁ y E₂— no depende del tiempo.

¿La partícula está a la vez en dos niveles?

Hasta medir la energía, el sistema está en superposición, no «ahora en n = 1, ahora en n = 2». La medida da E₁ o E₂ con probabilidades |c₁|² y |c₂|². Antes no hay una energía definida de ese par.

¿En qué se queda corta la caja de paredes infinitas?

Las paredes reales son finitas: hay efecto túnel. El espacio es unidimensional y no hay espín. Aun así ya se ven la cuantización, los nodos de ψ_n y la superposición: es el primer ejemplo habitual del curso.

¿Dónde aparece la caja «en la vida»?

Como modelo tosco del electrón en un punto cuántico o de los electrones π en una cadena conjugada (butadieno y análogos): los niveles son discretos y se ven en el espectro.

Partícula en una caja

Superposición de los estados n = 1 y n = 2: evolución de |Ψ|² en el tiempo y promedio ⟨E⟩ (unidades del modelo).

Sobre el modelo

La partícula en una caja (pozo unidimensional de paredes infinitas y longitud L) tiene funciones ψ_n(x) = √(2/L) sin(nπx/L) y energías E_n = n²π²ℏ²/(2mL²). En pantalla, la superposición no estacionaria Ψ(x,t) = c₁ ψ₁ e^{−iE₁t/ℏ} + c₂ ψ₂ e^{−iE₂t/ℏ}. La densidad |Ψ|² oscila por la interferencia con frecuencia (E₂−E₁)/ℏ; el promedio ⟨E⟩ = |c₁|²E₁ + |c₂|²E₂ es constante. Las paredes son infinitas: no hay efecto túnel; no se tienen en cuenta el espín ni el relativismo. Las amplitudes c₁ y c₂ fijan el peso del nivel fundamental y del primer excitado.

Para quién: Curso introductorio de mecánica cuántica y fisicoquímica: partícula en una caja, superposición, ecuación de Schrödinger.

Conceptos clave

partícula en una caja
función de onda
densidad de probabilidad
estado estacionario
superposición
ecuación de Schrödinger
cuantización de la energía

Cómo funciona

Caja de paredes infinitas: ψ_n ∝ sin(nπx/L), E_n ∝ n². La superposición n = 1 y n = 2 da pulsaciones de |Ψ|² con frecuencia (E₂−E₁)/ℏ; el promedio ⟨E⟩ es constante. La línea amarilla es la forma de ψ₁, para comparar.

Preguntas frecuentes

¿Por qué |Ψ|² oscila y ⟨E⟩ no cambia?: Los estados n = 1 y n = 2 acumulan fase distinta, y el término de interferencia en |Ψ|² oscila. Los pesos |c₁|² y |c₂|² son constantes, así que el promedio de la energía —suma ponderada de E₁ y E₂— no depende del tiempo.
¿La partícula está a la vez en dos niveles?: Hasta medir la energía, el sistema está en superposición, no «ahora en n = 1, ahora en n = 2». La medida da E₁ o E₂ con probabilidades |c₁|² y |c₂|². Antes no hay una energía definida de ese par.
¿En qué se queda corta la caja de paredes infinitas?: Las paredes reales son finitas: hay efecto túnel. El espacio es unidimensional y no hay espín. Aun así ya se ven la cuantización, los nodos de ψ_n y la superposición: es el primer ejemplo habitual del curso.
¿Dónde aparece la caja «en la vida»?: Como modelo tosco del electrón en un punto cuántico o de los electrones π en una cadena conjugada (butadieno y análogos): los niveles son discretos y se ven en el espectro.

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