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Accueil/Astronomie et le ciel/Expansion cosmologique (modèle de Friedmann)

Expansion cosmologique (modèle de Friedmann)

Modèle de Friedmann plat, avec matière et constante cosmologique : facteur d’échelle a(t), décalage vers le rouge z, horizon des particules χ et longueur de Hubble c/H.

ΛCDM (plat)

0.315
67.4 km/s/Mpc
6 Gyr

Mesures

Âge (a→1)13.80 Gyr
a au repère0.5095
z au repère0.963
Horizon χ0.00 Gpc
c/H au repère0.00 Gpc

À propos du modèle

L’expansion cosmologique (modèle de Friedmann) d’un Univers homogène et isotrope est fixée par le facteur d’échelle a(t). L’équation de Friedmann pour une géométrie spatialement plate, avec une fraction de matière Ω_m et une constante cosmologique Ω_Λ = 1 − Ω_m, donne H(a) = H₀ √(Ω_m a⁻³ + Ω_Λ). L’intégration de dt = da/(aH) donne le temps cosmique ; le rayon comobile de l’horizon des particules est χ = ∫ c dt/a = ∫ c da/(a²H). La longueur de Hubble c/H est indiquée pour comparaison : elle ne coïncide pas avec l’horizon des particules. L’intégrateur est pédagogique — pour une image qualitative, pas pour ajuster les paramètres sur les données du satellite Planck.

Public : Cosmologie de licence après l’effet Doppler et l’échelle des distances ; avant la physique du fond diffus cosmologique.

Notions clés

  • expansion cosmologique
  • facteur d’échelle
  • décalage vers le rouge
  • équation de Friedmann
  • horizon des particules
  • longueur de Hubble

Comment ça marche

L’expansion homogène et isotrope est fixée par le facteur d’échelle a(t) (aujourd’hui a = 1). Le décalage vers le rouge z = 1/a − 1 se rapporte à l’instant d’émission du photon. Dans le modèle de Friedmann–Robertson–Walker plat, avec matière et Λ : Ω_m + Ω_Λ = 1. L’horizon des particules comobile χ est le chemin que la lumière a pu parcourir depuis l’Univers primordial (intégrale c dt/a) ; il n’est pas égal à c/H, même si les deux croissent à l’époque dominée par Λ. On intègre la cinématique de Friedmann — ce n’est pas un substitut à la cosmologie précise d’après le fond diffus ou l’échelle des distances.

Formules

H² = H₀² (Ω_m a⁻³ + Ω_Λ), plat : Ω_Λ = 1 − Ω_m
dt = da / (a H(a)), χ = ∫ c dt / a = ∫ c da / (a² H)
z = 1/a − 1 (aujourd’hui a = 1)

Questions fréquentes

Pourquoi χ est-il différent de c/H ?
c/H est la distance associée au rythme local d’expansion. L’horizon des particules est l’intégrale complète de c/a depuis l’Univers primordial ; dans un modèle ΛCDM, il est en général plusieurs fois plus grand que c/H à l’époque actuelle.
Où a-t-on tenu compte du rayonnement ?
On l’a omis pour simplifier. À z ≫ 10³, le rayonnement compte pour un calcul précis ; ici les courbes sont fixées par la matière et Λ — pour la lisibilité aux époques tardives.
Le décalage vers le rouge z est-il un effet Doppler habituel ?
Pas seulement. Ici z = 1/a − 1 se rapporte à l’instant d’émission du photon : l’espace lui-même s’est étiré. L’effet Doppler d’une source en mouvement propre est un autre phénomène ; cette page intègre la cinématique de Friedmann, pas un spectre de galaxie individuelle.