¿Qué significa «colisión elástica» de solitones?

Durante la interacción los perfiles se funden en una forma complicada, pero luego los solitones se separan con la misma amplitud, velocidad y forma. El único rastro es un desfase: cada uno queda un poco adelantado o atrasado respecto de la trayectoria que habría seguido sin el choque.

¿Dónde aparecen los solitones KdV?

Ondas solitarias en canales de poco fondo, ondas internas en la picnoclina, ciertas ondas en un plasma. El medio real añade fricción y perturbaciones, pero el solitón KdV es una buena primera aproximación de una joroba localizada y estable.

¿Por qué al término u_xxx se le llama dispersión?

En el problema lineal, u_xxx hace que la velocidad de fase dependa del número de onda: el paquete se ensancha. En la ecuación KdV ese ensanchamiento lo compensa exactamente el empinamiento no lineal 6uu_x, y aparece un solitón que no se dispersa.

¿Qué no está en este modelo?

Disipación, no linealidades de orden superior, forzamiento y efectos bidimensionales. Los solitones exactos piden la forma integrable de la ecuación; en el medio real se pierde la integrabilidad y el solitón irradia energía poco a poco.

Solitones KdV

Ecuación de Korteweg–de Vries u_t + 6uu_x + u_xxx = 0: un pulso sech² o la colisión elástica de dos solitones según Hirota.

Sobre el modelo

Los solitones KdV son pulsos localizados y estables de la ecuación de Korteweg–de Vries u_t + 6uu_x + u_xxx = 0, el modelo clásico de la onda solitaria en aguas poco profundas. Los tres términos equilibran la evolución en el tiempo, el empinamiento no lineal y la dispersión lineal; con el balance exacto el pulso no se ensancha. La solución de un solitón es u(x,t) = 2κ² sech²(κ(x − 4κ²t − x₀)): la amplitud es proporcional al cuadrado de la velocidad. La solución de dos solitones por el método de Hirota muestra una colisión elástica: solitones de distinta amplitud se atraviesan y salen con la misma forma y velocidad; solo cambia la fase. Simplificaciones: una dimensión, no linealidad débil, sin disipación ni forzamiento. En la gráfica u(x) se ven las jorobas y el desfase después del adelantamiento.

Para quién: Física matemática de facultad: ondas no lineales, sistemas integrables, solitones.

Conceptos clave

ecuación de Korteweg–de Vries
solitón
onda no lineal
dispersión
método de Hirota
sistema integrable
pulso sech²
desfase

Cómo funciona

Ecuación de Korteweg–de Vries en la forma estándar u_t + 6u u_x + u_xxx = 0. La curva de dos jorobas es la solución exacta de Hirota: el solitón más alto y más rápido adelanta al bajo y sale casi con la forma inicial — la superposición no lineal clásica. Un pulso aislado es sech² con la ley u = 2k² sech²(k(x − x₀ − 4k²t)).

Fórmulas principales

u = 2 ∂²_xx ln τ, τ = 1 + exp(θ₁) + exp(θ₂) + A exp(θ₁+θ₂), θⱼ = kⱼx − 4kⱼ³t

Un solitón: u = 2k² sech²(k(x − x₀ − 4k²t))

Preguntas frecuentes

¿Qué significa «colisión elástica» de solitones?: Durante la interacción los perfiles se funden en una forma complicada, pero luego los solitones se separan con la misma amplitud, velocidad y forma. El único rastro es un desfase: cada uno queda un poco adelantado o atrasado respecto de la trayectoria que habría seguido sin el choque.
¿Dónde aparecen los solitones KdV?: Ondas solitarias en canales de poco fondo, ondas internas en la picnoclina, ciertas ondas en un plasma. El medio real añade fricción y perturbaciones, pero el solitón KdV es una buena primera aproximación de una joroba localizada y estable.
¿Por qué al término u_xxx se le llama dispersión?: En el problema lineal, u_xxx hace que la velocidad de fase dependa del número de onda: el paquete se ensancha. En la ecuación KdV ese ensanchamiento lo compensa exactamente el empinamiento no lineal 6uu_x, y aparece un solitón que no se dispersa.
¿Qué no está en este modelo?: Disipación, no linealidades de orden superior, forzamiento y efectos bidimensionales. Los solitones exactos piden la forma integrable de la ecuación; en el medio real se pierde la integrabilidad y el solitón irradia energía poco a poco.

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