¿Por qué se elevan al cuadrado los residuos y no se toman módulos?

El cuadrado penaliza más las desviaciones grandes, y S(a, b) es diferenciable en todas partes, así que las ecuaciones normales dan una solución explícita. La suma de módulos (mínimos desvíos absolutos) también es válida, pero suele exigir iteraciones y no tiene una fórmula tan simple.

¿Por qué la recta siempre pasa por (x̄, ȳ)?

Así están hechas las ecuaciones normales del modelo lineal simple: la ordenada al origen se elige para que la predicción media coincida con la media de la respuesta. El centro de masa de la muestra yace en la recta de MCO.

¿Dónde hace falta esto en el laboratorio de física?

Al determinar g a partir de s(t) ruidosos, al calibrar un sensor, al comprobar una ley lineal. Cada vez que por una nube de puntos se traza la recta de «mejor aproximación», casi siempre son mínimos cuadrados.

¿Cuándo miente el modelo lineal?

Si la tendencia verdadera es curva (cuadrática, exponencial), la recta da un error sistemático. El modelo también supone dispersión constante en y y puntos independientes; con heterocedasticidad o valores atípicos las estimaciones se sesgan.

Mínimos cuadrados

Puntos con ruido y la recta y = ax + b que minimiza la suma de los cuadrados de los residuos verticales. Cambien pendiente, desplazamiento y ruido: se ven los residuos y la suma de cuadrados de los errores.

Sobre el modelo

El método de mínimos cuadrados busca la recta que mejor aproxima la nube de puntos en el sentido de la suma de los cuadrados de las desviaciones verticales. Para el modelo y = ax + b se minimiza S(a, b) = Σ(y_i − ax_i − b)². Las derivadas parciales respecto de a y b, igualadas a cero, dan las ecuaciones normales; de ellas salen las únicas estimaciones de la pendiente y de la ordenada al origen. La recta siempre pasa por el centro de masa de la muestra (x̄, ȳ). Se supone una tendencia lineal y toda la incertidumbre sobre el eje y. En pantalla: la recta sobre la que se esparcieron los puntos, la recta ajustada y los residuos verticales. Cambian el número de puntos, la amplitud del ruido y los parámetros de generación.

Para quién: Bachillerato y primer año de universidad: estadística, tratamiento de datos de laboratorio, aproximación por una recta.

Conceptos clave

mínimos cuadrados
regresión lineal
residuo
pendiente
ordenada al origen
suma de cuadrados de los errores
ecuaciones normales

Cómo funciona

Los mínimos cuadrados minimizan S(a, b) = Σ(y_i − ax_i − b)². De las ecuaciones normales salen la pendiente a y la ordenada al origen b; la recta pasa por (x̄, ȳ). En pantalla la recta amarilla es la estimación, los segmentos rojos son los residuos verticales y la azul es la recta «verdadera» sobre la que se esparcieron los puntos.

Preguntas frecuentes

¿Por qué se elevan al cuadrado los residuos y no se toman módulos?: El cuadrado penaliza más las desviaciones grandes, y S(a, b) es diferenciable en todas partes, así que las ecuaciones normales dan una solución explícita. La suma de módulos (mínimos desvíos absolutos) también es válida, pero suele exigir iteraciones y no tiene una fórmula tan simple.
¿Por qué la recta siempre pasa por (x̄, ȳ)?: Así están hechas las ecuaciones normales del modelo lineal simple: la ordenada al origen se elige para que la predicción media coincida con la media de la respuesta. El centro de masa de la muestra yace en la recta de MCO.
¿Dónde hace falta esto en el laboratorio de física?: Al determinar g a partir de s(t) ruidosos, al calibrar un sensor, al comprobar una ley lineal. Cada vez que por una nube de puntos se traza la recta de «mejor aproximación», casi siempre son mínimos cuadrados.
¿Cuándo miente el modelo lineal?: Si la tendencia verdadera es curva (cuadrática, exponencial), la recta da un error sistemático. El modelo también supone dispersión constante en y y puntos independientes; con heterocedasticidad o valores atípicos las estimaciones se sesgan.

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